Partie 3 · Probabilités · Chapitre 18

La somme de variables aléatoires

Espérance, variance, indépendance.

Jusqu’ici, chaque expérience aléatoire donnait naissance à une variable aléatoire. Or les situations concrètes en font intervenir plusieurs à la fois : deux dés que l’on additionne, cent pièces produites dont on veut la masse totale, mille personnes interrogées dont on calcule la proportion. Ce chapitre apprend à manipuler ces combinaisons, et prépare la question qui commande toute la statistique : la moyenne d’un grand échantillon est-elle fiable ?

La somme de deux variables aléatoires

Définition : Somme de deux variables aléatoires

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur le même univers $\Omega$ . La somme $X + Y$ est la variable aléatoire qui, à chaque issue $\omega$ , associe le nombre :

(X + Y)(\omega) = X(\omega) + Y(\omega)

On définit de même le produit $aX$ par un réel $a$ , et la somme $X + b$ avec un réel $b$ .

Remarque : une condition à ne pas oublier

Additionner deux variables aléatoires n’a de sens que si elles décrivent la même expérience. Les deux résultats doivent pouvoir être lus sur une même issue $\omega$ , sans quoi la somme $X(\omega) + Y(\omega)$ ne veut rien dire.

Exemple : la somme de deux dés

On lance deux dés équilibrés à six faces. On note $X$ le résultat du premier, $Y$ celui du second, et $S = X + Y$ . L’univers compte $6 \times 6 = 36$ issues équiprobables. La variable $S$ prend les valeurs entières de $2$ à $12$ , mais pas avec la même probabilité : il n’y a qu’une seule façon d’obtenir $2$ , contre six façons d’obtenir $7$ .

P(S = 2) = \frac{1}{36} \qquad P(S = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

Loi de la somme de deux dés équilibrés : la hauteur de chaque bâton est proportionnelle au nombre d’issues qui donnent cette somme, sur les 36 possibles.

La linéarité de l’espérance

C’est le résultat central du chapitre, et le plus commode : l’espérance d’une somme est toujours la somme des espérances.

Théorème : Linéarité de l’espérance

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur le même univers, et soient $a$ et $b$ deux réels. Alors :

E(X + Y) = E(X) + E(Y) \qquad E(aX + b) = a\,E(X) + b

Remarque : aucune hypothèse d’indépendance

L’égalité $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ est vraie quelles que soient $X$ et $Y$ , même si elles sont liées entre elles. C’est ce qui en fait un outil aussi puissant : on peut découper une variable compliquée en morceaux simples sans se demander s’ils interagissent.

Exemple

Reprenons les deux dés. Chaque dé a pour espérance $E(X) = E(Y) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5$ . La linéarité donne immédiatement :

E(S) = E(X) + E(Y) = 3{,}5 + 3{,}5 = 7

Le calcul direct, à partir des onze valeurs de $S$ et de leurs probabilités, donnerait le même résultat en dix fois plus de lignes.

Espérance et variance de $aX + b$

Changer d’unité, ajouter une prime fixe, appliquer un tarif : toutes ces opérations transforment $X$ en $aX + b$ . L’espérance et la variance ne réagissent pas de la même manière.

Théorème : Transformation affine

Soit $X$ une variable aléatoire, et soient $a$ et $b$ deux réels. Alors :

E(aX + b) = a\,E(X) + b \qquad V(aX + b) = a^2\,V(X) \qquad \sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)

Méthode : lire ces trois formules

L’espérance suit toute la transformation : elle est multipliée par $a$ et décalée de $b$ .
La variance ignore le décalage $b$ : translater toutes les valeurs ne change pas la dispersion.
La variance est multipliée par $a^2$ , et non par $a$ , car elle s’exprime en unités au carré.
L’écart type est multiplié par $|a|$ , avec une valeur absolue, car un écart type est toujours positif.

Exemple

Une machine produit des pièces dont la masse $X$ , en grammes, vérifie $E(X) = 250$ et $\sigma(X) = 4$ . Le coût de production d’une pièce, en centimes, est $Y = 0{,}8X + 15$ . Alors :

E(Y) = 0{,}8 \times 250 + 15 = 215 \qquad \sigma(Y) = 0{,}8 \times 4 = 3{,}2 \qquad V(Y) = 0{,}64 \times 16 = 10{,}24

Le coût moyen est de $215$ centimes, avec un écart type de $3{,}2$ centimes. On remarque que la constante $15$ n’intervient nulle part dans la dispersion.

Passage de X à Y = 2X + 1 : chaque valeur est envoyée sur son image, l’espérance suit la transformation et les écarts entre les valeurs sont doublés.

Indépendance et variance d’une somme

Définition : Variables aléatoires indépendantes

Deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur le même univers sont dites indépendantes lorsque, pour toute valeur $x$ prise par $X$ et toute valeur $y$ prise par $Y$ :

P\big((X = x) \cap (Y = y)\big) = P(X = x) \times P(Y = y)

Autrement dit, connaître le résultat de l’une ne renseigne en rien sur l’autre.

Exemple

Les résultats de deux dés lancés séparément sont indépendants. En revanche, on tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes et on pose $X = 1$ si la carte est rouge, $Y = 1$ si c’est un cœur. Alors $P(X = 1) = \frac{1}{2}$ et $P(Y = 1) = \frac{1}{4}$ , tandis que l’événement $(X = 1) \cap (Y = 1)$ est simplement « la carte est un cœur », de probabilité $\frac{1}{4}$ . Comme $\frac{1}{4} \neq \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}$ , ces deux variables ne sont pas indépendantes.

Théorème : Variance d’une somme de variables indépendantes

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors :

V(X + Y) = V(X) + V(Y)

Remarque : l’hypothèse est indispensable

Contrairement à l’espérance, cette égalité exige l’indépendance. Pour s’en convaincre, prenons $Y = X$ , qui est aussi liée à $X$ qu’une variable peut l’être. Alors $X + Y = 2X$ , donc $V(X + Y) = V(2X) = 4V(X)$ , alors que $V(X) + V(Y) = 2V(X)$ . Les deux résultats diffèrent dès que $V(X) \neq 0$ .

Propriété : Les écarts types ne s’additionnent pas

Ce sont les variances qui s’ajoutent, jamais les écarts types. Pour $X$ et $Y$ indépendantes :

\sigma(X + Y) = \sqrt{V(X) + V(Y)}

Par exemple, si $\sigma(X) = 3$ et $\sigma(Y) = 4$ , alors $V(X) = 9$ et $V(Y) = 16$ , donc $\sigma(X+Y) = \sqrt{25} = 5$ , et non $7$ .

Exemple

Pour un dé équilibré, $E(X) = 3{,}5$ et $V(X) = \dfrac{35}{12}$ . Les deux dés étant indépendants :

V(S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5{,}83 \qquad \sigma(S) = \sqrt{\frac{35}{6}} \approx 2{,}42

L’écart type de chaque dé vaut $\sqrt{35/12} \approx 1{,}71$ . On vérifie que $2{,}42$ est bien inférieur à la somme $1{,}71 + 1{,}71 = 3{,}42$ : les fluctuations des deux dés se compensent en partie.

Échantillon de taille $n$

Définition : Échantillon

Soit $X$ une variable aléatoire. Un **échantillon de taille $n$ ** de la loi de $X$ est une liste $(X_1,\, X_2,\, \dots,\, X_n)$ de variables aléatoires :

indépendantes entre elles ;
et suivant toutes la même loi que $X$ .

C’est le modèle mathématique de la répétition d’une expérience dans des conditions identiques : $n$ lancers du même dé, $n$ pièces prélevées dans la même production, $n$ personnes choisies au hasard.

D’un échantillon de taille n à sa moyenne : on additionne les n variables pour obtenir la somme, puis on divise par n.

Définition : Somme et moyenne d’un échantillon

À partir d’un échantillon $(X_1,\, \dots,\, X_n)$ , on définit :

S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n \qquad \text{et} \qquad M_n = \frac{S_n}{n}

$S_n$ est la somme de l’échantillon, $M_n$ sa moyenne. Ce sont elles aussi des variables aléatoires : leur valeur dépend du hasard.

Théorème : Paramètres de la somme et de la moyenne

Soit $(X_1,\, \dots,\, X_n)$ un échantillon de taille $n$ d’une loi d’espérance $\mu$ et d’écart type $\sigma$ . Alors :

E(S_n) = n\mu \qquad V(S_n) = n\sigma^2 \qquad \sigma(S_n) = \sigma\sqrt{n}

E(M_n) = \mu \qquad V(M_n) = \frac{\sigma^2}{n} \qquad \sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Démonstrationexigible au bac

Pour la somme. La linéarité de l’espérance donne $E(S_n) = E(X_1) + \dots + E(X_n) = n\mu$ , puisque les $n$ variables ont la même espérance $\mu$ . Les variables étant de plus indépendantes, les variances s’additionnent :

V(S_n) = V(X_1) + \dots + V(X_n) = n\sigma^2

Pour la moyenne. On applique les formules de la transformation affine à $M_n = \dfrac{1}{n}S_n$ , c’est-à-dire au cas $a = \dfrac{1}{n}$ et $b = 0$ :

E(M_n) = \frac{1}{n}\,E(S_n) = \frac{n\mu}{n} = \mu

V(M_n) = \left(\frac{1}{n}\right)^{2}V(S_n) = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}

L’écart type s’obtient en prenant la racine carrée : $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .

Propriété : Ce que dit la formule $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

L’espérance de $M_n$ ne dépend pas de $n$ : quelle que soit la taille de l’échantillon, la moyenne vise toujours $\mu$ . En revanche son écart type décroît quand $n$ augmente : plus l’échantillon est grand, moins la moyenne s’écarte de $\mu$ .

Cette décroissance est lente. Pour diviser la dispersion par $2$ , il faut quadrupler l’échantillon ; pour la diviser par $10$ , il faut le multiplier par $100$ .

Écart type de la moyenne d’un échantillon en fonction de sa taille n : il faut quadrupler n pour diviser la dispersion par deux.

Exemple

On lance $100$ fois un dé équilibré et on note $M_{100}$ la moyenne des résultats obtenus. Avec $\mu = 3{,}5$ et $\sigma = \sqrt{\dfrac{35}{12}} \approx 1{,}708$ :

E(M_{100}) = 3{,}5 \qquad \sigma(M_{100}) = \frac{1{,}708}{\sqrt{100}} = \frac{1{,}708}{10} \approx 0{,}171

Le résultat d’un seul lancer fluctue avec un écart type de $1{,}708$ ; la moyenne de cent lancers, dix fois moins.

Retour sur la loi binomiale

Le chapitre précédent avait admis les formules $E(X) = np$ et $V(X) = np(1-p)$ . Elles se démontrent maintenant en quelques lignes.

Démonstration

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{B}(n\,;\, p)$ . Notons $X_i$ la variable qui vaut $1$ si la $i$ -ième épreuve est un succès, et $0$ sinon : chaque $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ , et le nombre total de succès est $X = X_1 + \dots + X_n$ .

Pour une variable de Bernoulli, $E(X_i) = 0 \times (1-p) + 1 \times p = p$ . De plus $X_i^{\,2} = X_i$ , car $0^2 = 0$ et $1^2 = 1$ , donc $E(X_i^{\,2}) = p$ et :

V(X_i) = E(X_i^{\,2}) - E(X_i)^2 = p - p^2 = p(1-p)

Les épreuves d’un schéma de Bernoulli étant identiques et indépendantes, $(X_1,\, \dots,\, X_n)$ est un échantillon de taille $n$ de la loi de Bernoulli de paramètre $p$ . Le théorème précédent donne alors directement :

E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p)

Remarque : la fréquence des succès

La moyenne $M_n = \dfrac{X}{n}$ est ici la fréquence des succès. Ses paramètres se lisent aussitôt : $E(M_n) = p$ et $\sigma(M_n) = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$ . C’est le point de départ du chapitre suivant.

Erreurs classiques à éviter

Croire que $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ suppose l’indépendance.
Cette égalité est vraie sans aucune condition. C’est la variance, et elle seule, qui réclame l’indépendance.
Écrire $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ sans vérifier l’indépendance.
Cette égalité est fausse en général. Le contre-exemple $Y = X$ donne $V(2X) = 4V(X)$ et non $2V(X)$ . Il faut toujours justifier l’indépendance avant de l’utiliser.
Additionner les écarts types.
Seules les variances s’additionnent. Avec $\sigma(X) = 3$ et $\sigma(Y) = 4$ , on obtient $\sigma(X+Y) = \sqrt{9 + 16} = 5$ , et non $7$ .
Écrire $V(aX + b) = a\,V(X) + b$ .
Le coefficient est au carré et la constante disparaît : $V(aX + b) = a^2V(X)$ . Une translation ne change pas la dispersion.
Écrire $\sigma(aX) = a\,\sigma(X)$ sans valeur absolue.
Un écart type est toujours positif : $\sigma(aX) = |a|\,\sigma(X)$ . Pour $a = -3$ , l’écart type est multiplié par $3$ , pas par $-3$ .
Confondre les paramètres de $S_n$ et ceux de $M_n$ .
L’écart type de la somme augmente ( $\sigma\sqrt{n}$ ), celui de la moyenne diminue ( $\sigma/\sqrt{n}$ ). Repérer d’abord si l’énoncé porte sur un total ou sur une moyenne.
Croire que $E(M_n)$ se rapproche de $\mu$ quand $n$ grandit.
$E(M_n) = \mu$ exactement, pour toute taille $n$ , même $n = 1$ . Ce qui diminue avec $n$ , c’est l’écart type, donc la fluctuation autour de $\mu$ .
Diviser la dispersion par $n$ au lieu de $\sqrt{n}$ .
C’est la variance qui est divisée par $n$ ; l’écart type ne l’est que par $\sqrt{n}$ . Passer de $100$ à $400$ observations ne divise l’incertitude que par $2$ .

Et maintenant

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