Partie 3 · Probabilités · Chapitre 17

La loi binomiale

Coefficients binomiaux, espérance, variance.

Le chapitre précédent a mis en place tout le mécanisme : un schéma de Bernoulli, des chemins, et un dénombrement par les coefficients binomiaux. Il ne reste qu’à donner un nom à la variable qui compte les succès. Cette loi, la loi binomiale, est de loin la plus utilisée en terminale, et celle que l’on retrouve dans les sondages, les contrôles qualité et les tests médicaux.

Définition

Définition : Loi binomiale

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ , c’est-à-dire $n$ épreuves identiques et indépendantes, de probabilité de succès $p$ . Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus.

On dit que $X$ suit la **loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ **, ce que l’on note :

X \sim \mathcal{B}(n\,;\, p)

La variable $X$ prend toutes les valeurs entières de $0$ à $n$ .

Remarque : un cas particulier connu

Pour $n = 1$ , la loi binomiale $\mathcal{B}(1\,;\, p)$ n’est autre que la loi de Bernoulli de paramètre $p$ : une seule épreuve, donc $0$ ou $1$ succès.

La formule de la loi binomiale

Théorème : Probabilité d’obtenir $k$ succès

Si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n\,;\, p)$ , alors pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $n$ :

P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^{\,k}\,(1-p)^{\,n-k}

Démonstration

L’événement $(X = k)$ est la réunion de tous les chemins de l’arbre comportant exactement $k$ succès. Ces chemins sont deux à deux incompatibles, donc leurs probabilités s’additionnent.

Chacun de ces chemins a la même probabilité, $p^{k}(1-p)^{n-k}$ , puisqu’il comporte $k$ branches de probabilité $p$ et $n - k$ branches de probabilité $1 - p$ . Or il existe $\dbinom{n}{k}$ tels chemins. En additionnant, on obtient la formule annoncée.

Méthode : les trois ingrédients

$\dbinom{n}{k}$ compte les positions possibles des succès ;
$p^{\,k}$ vient des $k$ succès ;
$(1-p)^{\,n-k}$ vient des $n - k$ échecs.

Contrôle rapide : la somme des deux exposants doit toujours valoir $n$ .

Exemple

Soit $X \sim \mathcal{B}(5\,;\, 0{,}3)$ . La probabilité d’obtenir exactement deux succès vaut, avec $\dbinom{5}{2} = 10$ :

P(X = 2) = 10 \times 0{,}3^2 \times 0{,}7^3 = 10 \times 0{,}09 \times 0{,}343 = 0{,}3087

Diagramme en bâtons de la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,3 : les valeurs les plus probables se groupent autour de l’espérance.

Espérance, variance et écart type

Théorème : Paramètres de la loi binomiale

Si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n\,;\, p)$ , alors :

E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}

Remarque : d’où vient cette formule

La variable $X$ est la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes, chacune d’espérance $p$ et de variance $p(1-p)$ . L’espérance d’une somme étant la somme des espérances, on obtient $np$ ; l’indépendance permet de faire de même pour les variances, d’où $np(1-p)$ . Ce point est repris au chapitre suivant.

Exemple

Pour $X \sim \mathcal{B}(20\,;\, 0{,}15)$ : $E(X) = 20 \times 0{,}15 = 3$ , $V(X) = 20 \times 0{,}15 \times 0{,}85 = 2{,}55$ , et $\sigma(X) = \sqrt{2{,}55} \approx 1{,}60$ .

Interprétation : sur un grand nombre de séries de $20$ épreuves, on observe en moyenne $3$ succès par série.

Calculer des probabilités cumulées

Les énoncés demandent rarement une valeur isolée. Ils portent le plus souvent sur des expressions comme « au moins », « au plus » ou « entre ». Il faut savoir les traduire.

Formulation	Traduction	Calcul
« au plus $k$ succès »	$X \leqslant k$	somme de $P(X=0)$ à $P(X=k)$
« moins de $k$ succès »	$X < k$ , soit $X \leqslant k-1$	somme de $P(X=0)$ à $P(X=k-1)$
« au moins $k$ succès »	$X \geqslant k$	$1 - P(X \leqslant k-1)$
« plus de $k$ succès »	$X > k$ , soit $X \geqslant k+1$	$1 - P(X \leqslant k)$
« au moins un succès »	$X \geqslant 1$	$1 - P(X = 0)$

Méthode : penser à l’événement contraire

Devant un « au moins », il est presque toujours plus rapide de passer par l’événement contraire. Calculer $P(X \geqslant 1)$ demande une seule probabilité si l’on écrit $1 - P(X = 0)$ , contre $n$ additions sinon.

Exemple

Soit $X \sim \mathcal{B}(10\,;\, 0{,}05)$ . La probabilité d’obtenir au moins un succès vaut :

P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}95^{10} \approx 1 - 0{,}599 = 0{,}401

Remarque : à la calculatrice

Les calculatrices proposent deux fonctions : l’une donne $P(X = k)$ , l’autre la probabilité cumulée $P(X \leqslant k)$ . Bien identifier laquelle on utilise évite la majorité des erreurs de calcul du chapitre.

Chercher un seuil

Une question classique consiste à déterminer combien de répétitions garantissent une probabilité donnée. Elle mêle loi binomiale et logarithme.

Méthode : déterminer le nombre de répétitions

Traduire la condition, en général sur $P(X \geqslant 1) = 1 - (1-p)^{\,n}$ .
Isoler la puissance pour obtenir une inéquation de la forme $(1-p)^{\,n} \leqslant s$ .
Appliquer le logarithme népérien aux deux membres, tous deux strictement positifs.
Diviser par $\ln(1-p)$ , qui est négatif : l’inégalité change de sens.
Conclure sur le plus petit entier $n$ convenable.

Exemple

Une épreuve a une probabilité de succès $p = 0{,}05$ . Combien faut il de répétitions pour obtenir au moins un succès avec une probabilité d’au moins $0{,}99$ ?

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $1 - 0{,}95^{\,n} \geqslant 0{,}99$ , ce qui équivaut à $0{,}95^{\,n} \leqslant 0{,}01$ . On applique le logarithme :

n\ln 0{,}95 \leqslant \ln 0{,}01 \iff n \geqslant \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}95} \approx 89{,}8

Le sens de l’inégalité a changé car $\ln 0{,}95$ est négatif. Il faut donc au moins 90 répétitions.

Erreurs classiques à éviter

Oublier le coefficient binomial.
$p^{k}(1-p)^{n-k}$ est la probabilité d’un seul chemin. La formule complète contient le facteur $\binom{n}{k}$ .
Confondre $n$ , $k$ et $p$ dans la formule.
$n$ est le nombre de répétitions, $k$ le nombre de succès visé, $p$ la probabilité de succès. La somme des exposants $k$ et $n-k$ doit valoir $n$ .
Écrire $E(X) = p$ pour une loi binomiale.
$E(X) = p$ vaut pour une loi de Bernoulli, une seule épreuve. Pour la loi binomiale, $E(X) = np$ .
Confondre variance et écart type.
$V(X) = np(1-p)$ , et $\sigma(X)$ en est la racine carrée. L’écart type s’exprime dans la même unité que $X$ .
Traduire « au moins $k$ » par $X > k$ .
« Au moins $k$ » signifie $X \geqslant k$ , la valeur $k$ étant incluse. C’est « plus de $k$ » qui se traduit par $X > k$ .
Additionner toutes les probabilités pour un « au moins un ».
Il est bien plus rapide de passer par le contraire : $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0)$ .
Ne pas changer le sens de l’inégalité dans un calcul de seuil.
En divisant par $\ln(1-p)$ , qui est négatif, l’inégalité s’inverse. C’est l’erreur la plus coûteuse de ce type d’exercice.
Appliquer la loi binomiale à un tirage sans remise.
La loi binomiale suppose des épreuves identiques et indépendantes. Sans remise, il faut que la population soit assez grande pour assimiler le prélèvement à un tirage avec remise, et l’énoncé le précise alors.

Et maintenant

Le cours est lu ? Vérifie qu’il est acquis : le QCM repère les trous, les exercices confirment en conditions réelles, les flashcards ancrent les formules.

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