Partie 3 · Probabilités · Chapitre 16

Le schéma de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli, succès, répétitions indépendantes.

Beaucoup de situations se ramènent à une question à deux réponses : la pièce tombe sur pile ou non, le composant est défectueux ou non, le joueur marque ou rate. Lorsqu’on répète une telle expérience un grand nombre de fois dans les mêmes conditions, on obtient un schéma de Bernoulli. Ce chapitre en pose le vocabulaire et les outils de calcul ; le suivant en tirera la loi binomiale.

L’épreuve de Bernoulli

Définition : Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire n’ayant que deux issues : l’une appelée succès, notée $S$ , l’autre échec, notée $\overline{S}$ .

On note $p$ la probabilité du succès. Celle de l’échec vaut alors $1 - p$ , souvent notée $q$ .

Remarque : le succès est un choix de l’énoncé

Le mot « succès » n’a rien de positif en soi : c’est simplement l’issue que l’on décide d’étudier. Dans un contrôle qualité, le succès peut très bien être « la pièce est défectueuse ». La première chose à faire dans un exercice est donc de préciser ce que l’on appelle succès, et de donner sa probabilité.

Exemple

Lancer un dé équilibré à six faces et regarder si l’on obtient un six est une épreuve de Bernoulli : le succès est « obtenir un six », de probabilité $p = \dfrac{1}{6}$ , et l’échec « ne pas obtenir un six », de probabilité $\dfrac{5}{6}$ .

La loi de Bernoulli

Définition : Loi de Bernoulli

Soit $X$ la variable aléatoire qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d’échec. On dit que $X$ suit la **loi de Bernoulli de paramètre $p$ **, ce que l’on note $X \sim \mathcal{B}(p)$ . Sa loi de probabilité est :

P(X = 1) = p \qquad P(X = 0) = 1 - p

Théorème : Espérance, variance et écart type

Si $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ , alors :

E(X) = p \qquad V(X) = p(1 - p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{p(1-p)}

Démonstration

L’espérance est la somme des valeurs pondérées par leurs probabilités :

E(X) = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p

Pour la variance, on utilise $V(X) = E\left(X^2\right) - \big(E(X)\big)^2$ . Comme $X$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$ , on a $X^2 = X$ , donc $E\left(X^2\right) = p$ :

V(X) = p - p^2 = p(1 - p)

Exemple

Pour le lancer de dé avec succès « obtenir un six », on a $p = \dfrac{1}{6}$ , donc $E(X) = \dfrac{1}{6}$ et $V(X) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{36}$ .

Le schéma de Bernoulli

Définition : Schéma de Bernoulli

Un **schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ ** est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune de probabilité de succès $p$ .

Deux conditions doivent donc être vérifiées, et justifiées dans une copie :

les épreuves sont identiques : la probabilité $p$ ne change pas d’une répétition à l’autre ;
les épreuves sont indépendantes : le résultat de l’une n’influence pas les autres.

Remarque : avec ou sans remise

Un tirage avec remise conserve la composition de l’urne : les épreuves restent identiques et indépendantes, c’est un schéma de Bernoulli. Un tirage sans remise modifie les proportions à chaque étape : ce n’en est pas un. C’est le piège le plus fréquent du chapitre.

L’arbre et la probabilité d’un chemin

Un schéma de Bernoulli se représente par un arbre pondéré : à chaque étape, deux branches partent de chaque nœud, l’une pour le succès de probabilité $p$ , l’autre pour l’échec de probabilité $1 - p$ .

L’arbre d’un schéma de Bernoulli à trois répétitions : chaque nœud se dédouble en succès et échec.

Propriété : Probabilité d’un chemin

La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches. Dans un schéma de $n$ répétitions, tout chemin comportant exactement $k$ succès a donc pour probabilité :

p^{\,k}\,(1 - p)^{\,n-k}

Cette valeur ne dépend pas de l’ordre dans lequel les succès apparaissent : tous les chemins à $k$ succès ont la même probabilité.

Exemple

On répète $3$ fois une épreuve de probabilité de succès $p = 0{,}2$ . Le chemin « succès, échec, succès » a pour probabilité $0{,}2 \times 0{,}8 \times 0{,}2 = 0{,}2^2 \times 0{,}8 = 0{,}032$ .

Le chemin « succès, succès, échec » a exactement la même probabilité : $0{,}2 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}032$ . Seul compte le nombre de succès.

Compter les chemins

Pour obtenir la probabilité d’avoir exactement $k$ succès, il reste à savoir combien de chemins comportent $k$ succès. C’est exactement la question du chapitre 1 sur le dénombrement : choisir les $k$ étapes réussies parmi les $n$ .

Définition : Coefficient binomial

Le nombre de chemins comportant exactement $k$ succès dans un arbre à $n$ répétitions est le coefficient binomial $\dbinom{n}{k}$ , qui se lit « $k$ parmi $n$ ». Il se calcule par :

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Les trois chemins comportant exactement deux succès sur trois répétitions, tracés en rouge sur l’arbre.

Propriété : Propriétés utiles

$\dbinom{n}{0} = 1$ et $\dbinom{n}{n} = 1$ : un seul chemin sans succès, un seul avec que des succès.
$\dbinom{n}{1} = n$ : le succès unique peut se placer à $n$ endroits.
$\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$ : choisir les succès revient à choisir les échecs.
Relation de Pascal : $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k}$ .

Exemple

Avec $n = 3$ répétitions, le nombre de chemins à deux succès vaut $\dbinom{3}{2} = \dfrac{3!}{2!\,1!} = 3$ . Ces trois chemins sont « succès, succès, échec », « succès, échec, succès » et « échec, succès, succès ».

Vers la loi binomiale

Il ne reste qu’à assembler les deux résultats précédents. Chaque chemin à $k$ succès a pour probabilité $p^{k}(1-p)^{n-k}$ , et il existe $\dbinom{n}{k}$ tels chemins, deux à deux incompatibles. En additionnant leurs probabilités :

Propriété : Probabilité d’obtenir exactement $k$ succès

P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^{\,k}\,(1-p)^{\,n-k}

où $X$ désigne le nombre de succès obtenus lors des $n$ répétitions. C’est la loi binomiale, étudiée en détail au chapitre suivant.

Exemple

On répète $3$ fois une épreuve de probabilité de succès $0{,}2$ . La probabilité d’obtenir exactement deux succès vaut :

P(X = 2) = \binom{3}{2} \times 0{,}2^2 \times 0{,}8 = 3 \times 0{,}04 \times 0{,}8 = 0{,}096

On retrouve bien les trois chemins de probabilité $0{,}032$ chacun, puisque $3 \times 0{,}032 = 0{,}096$ .

Erreurs classiques à éviter

Appliquer le schéma de Bernoulli à un tirage sans remise.
Sans remise, la composition change à chaque tirage : les épreuves ne sont ni identiques ni indépendantes. Ce n’est pas un schéma de Bernoulli.
Oublier de préciser ce qu’est le succès.
La rédaction attendue commence toujours par « on appelle succès l’événement … , de probabilité $p = \dots$ ». Sans cela, la suite du raisonnement n’a pas de sens.
Oublier le coefficient binomial.
$p^{k}(1-p)^{n-k}$ est la probabilité d’un seul chemin. Il faut la multiplier par $\binom{n}{k}$ , le nombre de chemins comportant $k$ succès.
Se tromper d’exposant entre $k$ et $n - k$ .
L’exposant de $p$ est le nombre de succès $k$ , celui de $1 - p$ est le nombre d’échecs $n - k$ . La somme des deux exposants doit toujours valoir $n$ .
Croire que l’ordre des succès change la probabilité d’un chemin.
Non : tous les chemins à $k$ succès ont la même probabilité, car la multiplication est commutative. C’est leur nombre qui varie.
Confondre la variable de Bernoulli et le nombre de succès.
Dans une seule épreuve, $X$ vaut $0$ ou $1$ . Dans un schéma de $n$ épreuves, $X$ compte les succès et peut prendre toutes les valeurs de $0$ à $n$ .

Et maintenant

Le cours est lu ? Vérifie qu’il est acquis : le QCM repère les trous, les exercices confirment en conditions réelles, les flashcards ancrent les formules.

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