Partie 2 · Analyse · Chapitre 15

Le calcul intégral

Linéarité, positivité, relation de Chasles, intégration par parties.

Dériver, c’est mesurer une variation. Intégrer, c’est le mouvement inverse : on remonte de la variation à la quantité. Cette opération répond à une question très concrète, celle de l’aire sous une courbe, et à beaucoup d’autres : une distance à partir d’une vitesse, une énergie à partir d’une puissance, une population à partir d’un taux de croissance. Tout le chapitre repose sur un lien remarquable entre ces aires et les primitives.

L’intégrale et l’aire sous la courbe

Définition : Intégrale d’une fonction positive

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\,;\, b]$ . L’**intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ **, notée $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ , est l’aire du domaine compris entre la courbe de $f$ , l’axe des abscisses, et les droites verticales d’équations $x = a$ et $x = b$ .

Cette aire s’exprime en unités d’aire, l’unité étant l’aire du rectangle bâti sur les vecteurs du repère.

L’intégrale de a à b mesure l’aire de la zone comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et les deux droites verticales.

Remarque : la variable est muette

La lettre utilisée à l’intérieur de l’intégrale n’a aucune importance : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ et $\displaystyle\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ désignent le même nombre. Une intégrale est un nombre, pas une fonction.

Propriété : Cas d’une fonction négative

Si $f$ est négative sur $[a\,;\, b]$ , l’intégrale est négative, et son opposé donne l’aire du domaine situé entre la courbe et l’axe. L’aire, elle, reste toujours positive.

Les primitives

Définition : Primitive

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ , dérivable sur $I$ , telle que :

F'(x) = f(x) \quad \text{pour tout } x \in I

Théorème : Existence et forme des primitives

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ y admet des primitives. Si $F$ en est une, alors les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $F + k$ , où $k$ est une constante réelle.

Il y a donc une infinité de primitives, qui diffèrent seulement d’une constante. En imposant une condition, par exemple $F(x_0) = y_0$ , on en sélectionne une unique.

Le tableau suivant se lit dans les deux sens : de gauche à droite pour dériver, de droite à gauche pour trouver une primitive. Dans la partie basse, $u$ désigne une fonction dérivable.

Fonction $f$	Une primitive $F$	Sur
$x^{n}$ ( $n \neq -1$ )	$\dfrac{x^{\,n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln x$	$\left]0\,;\,+\infty\right[$
$e^{x}$	$e^{x}$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$\sin x$	$\mathbb{R}$
$\sin x$	$-\cos x$	$\mathbb{R}$
$u'\,u^{n}$	$\dfrac{u^{\,n+1}}{n+1}$	où $u$ est définie
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln u$	où $u > 0$
$u'\,e^{u}$	$e^{u}$	où $u$ est définie

Exemple : reconnaître une forme composée

Cherchons une primitive de $f(x) = 2x\,e^{x^2}$ . On reconnaît la forme $u'e^{u}$ avec $u = x^2$ et $u' = 2x$ . Une primitive est donc $F(x) = e^{x^2}$ .

De même, $g(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1 > 0$ . Une primitive est $G(x) = \ln\left(x^2 + 1\right)$ .

Calculer une intégrale

Théorème : Calcul par une primitive

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle contenant $a$ et $b$ , et $F$ une primitive de $f$ . Alors :

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : la constante ajoutée s’élimine dans la soustraction.

Méthode : calculer une intégrale

Trouver une primitive $F$ de la fonction, en s’aidant du tableau et des formes composées.
Écrire le crochet $\Big[F(x)\Big]_a^b$ .
Calculer $F(b) - F(a)$ , en soignant les signes.

Exemple

Calculons $\displaystyle\int_0^2 \left(3x^2 + 1\right)\mathrm{d}x$ . Une primitive est $F(x) = x^3 + x$ :

\int_0^2 \left(3x^2 + 1\right)\mathrm{d}x = \Big[x^3 + x\Big]_0^2 = (8 + 2) - (0 + 0) = 10

Autre exemple : $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,\mathrm{d}x = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$ .

Les propriétés de l’intégrale

Propriété : Linéarité

Pour toutes fonctions continues $f$ et $g$ et tout réel $k$ :

\int_a^b \big(f + g\big) = \int_a^b f + \int_a^b g \qquad \int_a^b k\,f = k\int_a^b f

Propriété : Relation de Chasles

Pour tous réels $a$ , $b$ , $c$ d’un intervalle où $f$ est continue :

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x + \int_b^c f(x)\,\mathrm{d}x = \int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x

On en déduit deux cas particuliers utiles : $\displaystyle\int_a^a f = 0$ et $\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f$ .

Découper l’intervalle en deux revient à additionner les deux aires : c’est la relation de Chasles.

Propriété : Positivité et comparaison

Soit $a \leqslant b$ . Alors :

si $f(x) \geqslant 0$ sur $[a\,;\, b]$ , alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \geqslant 0$ ;
si $f(x) \leqslant g(x)$ sur $[a\,;\, b]$ , alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \leqslant \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x$ .

L’ordre $a \leqslant b$ est essentiel : ces propriétés sont fausses si les bornes sont inversées.

Aire entre deux courbes et valeur moyenne

Propriété : Aire entre deux courbes

Si $f(x) \geqslant g(x)$ sur $[a\,;\, b]$ , l’aire du domaine compris entre les deux courbes vaut :

\mathcal{A} = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,\mathrm{d}x

On intègre toujours la fonction du dessus moins celle du dessous, ce qui garantit un résultat positif.

L’aire entre deux courbes s’obtient en intégrant la différence entre la fonction du dessus et celle du dessous.

Exemple

Calculons l’aire entre les courbes de $f(x) = x$ et $g(x) = x^2$ sur $[0\,;\, 1]$ . Sur cet intervalle, $x \geqslant x^2$ , donc $f$ est au-dessus :

\mathcal{A} = \int_0^1 \left(x - x^2\right)\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

Définition : Valeur moyenne

La valeur moyenne d’une fonction continue $f$ sur $[a\,;\, b]$ , avec $a < b$ , est le réel :

\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

C’est la hauteur du rectangle de base $[a\,;\, b]$ ayant la même aire que celle sous la courbe.

Le rectangle de hauteur μ a exactement la même aire que le domaine sous la courbe.

L’intégration par parties

Théorème : Formule d’intégration par parties

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables, de dérivées continues sur $[a\,;\, b]$ . Alors :

\int_a^b u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x

Démonstration

La formule de dérivation d’un produit donne $(uv)' = u'v + uv'$ . La fonction $uv$ est donc une primitive de $u'v + uv'$ , d’où :

\int_a^b \big(u'v + uv'\big) = \Big[uv\Big]_a^b

Par linéarité, le membre de gauche vaut $\displaystyle\int_a^b u'v + \int_a^b uv'$ . En isolant la première intégrale, on obtient la formule annoncée.

Méthode : bien choisir u’ et v

On choisit pour $v$ la fonction qui se simplifie en dérivant, et pour $u'$ celle que l’on sait primitiver.

Face à un produit du type polynôme fois exponentielle, on pose $v =$ le polynôme (sa dérivée baisse d’un degré) et $u' =$ l’exponentielle.
Face à un logarithme seul ou multiplié par un polynôme, on pose $v = \ln x$ , dont la dérivée $\frac{1}{x}$ fait disparaître le logarithme.

Exemple : un produit avec une exponentielle

Calculons $\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,\mathrm{d}x$ . On pose $v(x) = x$ et $u'(x) = e^{x}$ , donc $v'(x) = 1$ et $u(x) = e^{x}$ :

\int_0^1 x\,e^{x}\,\mathrm{d}x = \Big[x\,e^{x}\Big]_0^1 - \int_0^1 e^{x}\,\mathrm{d}x

Le crochet vaut $1 \times e - 0 = e$ , et l’intégrale restante vaut $\Big[e^{x}\Big]_0^1 = e - 1$ . Donc :

\int_0^1 x\,e^{x}\,\mathrm{d}x = e - (e - 1) = 1

Exemple : primitiver le logarithme

Calculons $\displaystyle\int_1^{e} \ln x\,\mathrm{d}x$ . L’astuce consiste à voir $\ln x$ comme le produit $1 \times \ln x$ , avec $u'(x) = 1$ et $v(x) = \ln x$ , donc $u(x) = x$ et $v'(x) = \dfrac{1}{x}$ :

\int_1^{e} \ln x\,\mathrm{d}x = \Big[x\ln x\Big]_1^{e} - \int_1^{e} x \times \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x

Le crochet vaut $e\ln e - 1 \times \ln 1 = e$ , et l’intégrale restante vaut $\displaystyle\int_1^{e} 1\,\mathrm{d}x = e - 1$ . Donc :

\int_1^{e} \ln x\,\mathrm{d}x = e - (e - 1) = 1

Erreurs classiques à éviter

Oublier que l’intégrale d’une fonction négative est négative.
L’intégrale n’est une aire que si la fonction est positive. Pour une fonction négative, l’aire est l’opposé de l’intégrale.
Croire qu’une primitive est unique.
Elles diffèrent d’une constante : si $F$ convient, toutes les $F + k$ conviennent aussi. Pour le calcul d’une intégrale, cela n’a aucune importance.
Écrire $\displaystyle\int f \times g = \int f \times \int g$ .
L’intégrale est linéaire pour la somme et la multiplication par une constante, pas pour le produit de deux fonctions. Pour un produit, il faut souvent une intégration par parties.
Intégrer « celle du dessous moins celle du dessus » pour une aire.
L’aire entre deux courbes vaut $\int (f - g)$ avec $f$ au-dessus. Inverser donne un résultat négatif, ce qui est impossible pour une aire.
Oublier de diviser par $b - a$ dans la valeur moyenne.
La valeur moyenne vaut $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$ , pas simplement l’intégrale.
Oublier le signe moins de la formule d’intégration par parties.
La formule est $\int u'v = \big[uv\big] - \int uv'$ . Le signe moins devant la seconde intégrale est indispensable.
Choisir $u'$ et $v$ au hasard dans une intégration par parties.
On prend pour $v$ la fonction qui se simplifie en dérivant (polynôme, logarithme) et pour $u'$ celle que l’on sait primitiver.

Et maintenant

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