Partie 2 · Analyse · Chapitre 14

Les équations différentielles

Équations y' = ay et y' = ay + b, solutions.

Jusqu’à présent, une équation portait sur un nombre inconnu. Une équation différentielle porte sur une fonction inconnue, et relie cette fonction à sa dérivée. C’est l’outil de base de la physique : on sait rarement décrire directement l’état d’un système, mais on sait presque toujours décrire comment il varie. Un corps chaud se refroidit d’autant plus vite qu’il est loin de la température ambiante ; une population croît proportionnellement à son effectif. Dans les deux cas, l’énoncé porte sur la dérivée.

Qu’est ce qu’une équation différentielle

Définition : Équation différentielle et solution

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction, et qui fait intervenir cette fonction ainsi que sa ou ses dérivées.

Une solution sur un intervalle $I$ est une fonction $f$ , dérivable sur $I$ , qui vérifie l’égalité pour tout $x$ de $I$ . Résoudre l’équation, c’est en déterminer toutes les solutions.

Remarque : la notation $y$

Par tradition, la fonction inconnue se note $y$ et sa dérivée $y'$ . L’équation $y' = 3y$ signifie donc : « trouver toutes les fonctions dérivables $f$ telles que $f'(x) = 3f(x)$ pour tout $x$ ».

Exemple : vérifier qu’une fonction est solution

La fonction $f$ définie par $f(x) = 5e^{3x}$ est elle solution de $y' = 3y$ ? On calcule sa dérivée : $f'(x) = 5 \times 3e^{3x} = 15e^{3x}$ . Par ailleurs $3f(x) = 3 \times 5e^{3x} = 15e^{3x}$ .

Les deux expressions coïncident pour tout réel $x$ : la fonction $f$ est bien solution.

L’équation y’ = ay

Théorème : Solutions de $y' = ay$

Soit $a$ un réel. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l’équation différentielle $y' = ay$ sont exactement les fonctions de la forme :

f(x) = C\,e^{ax}, \qquad C \in \mathbb{R}

Il y a donc une infinité de solutions, une pour chaque valeur de la constante $C$ .

Démonstrationexigible au bac

Vérifions d’abord que ces fonctions conviennent. Si $f(x) = Ce^{ax}$ , alors $f'(x) = Cae^{ax} = a \times Ce^{ax} = af(x)$ : c’est bien une solution.

Montrons maintenant qu’il n’y en a pas d’autres. Soit $f$ une solution quelconque de $y' = ay$ . On introduit la fonction auxiliaire $g$ définie par :

g(x) = f(x)\,e^{-ax}

Cette fonction est dérivable comme produit de fonctions dérivables. On la dérive, en utilisant $\left(e^{-ax}\right)' = -ae^{-ax}$ :

g'(x) = f'(x)e^{-ax} - a f(x)e^{-ax} = e^{-ax}\big(f'(x) - af(x)\big)

Or $f$ est solution, donc $f'(x) = af(x)$ et la parenthèse est nulle. On en déduit $g'(x) = 0$ pour tout réel $x$ : la fonction $g$ est constante sur $\mathbb{R}$ . Notons $C$ cette constante.

De $f(x)e^{-ax} = C$ on tire, en multipliant par $e^{ax}$ qui ne s’annule jamais :

f(x) = C\,e^{ax}

Toute solution est donc de cette forme, ce qui achève la démonstration.

Les solutions de y’ = ay forment une famille de courbes, une par valeur de la constante C.

Remarque : lire le signe de a

Le signe de $a$ décide du comportement. Si $a > 0$ , la solution est une croissance exponentielle (pour $C > 0$ ). Si $a < 0$ , c’est une décroissance vers $0$ , ce qui modélise une désintégration, une décharge ou un refroidissement.

La condition initiale

Théorème : Unicité de la solution vérifiant une condition initiale

Soient $a$ , $x_0$ et $y_0$ des réels. L’équation $y' = ay$ admet une unique solution $f$ vérifiant la condition initiale $f(x_0) = y_0$ .

Méthode : déterminer la solution d’un problème

Écrire la forme générale des solutions, avec la constante $C$ .
Remplacer $x$ par $x_0$ et écrire que le résultat vaut $y_0$ .
Résoudre cette équation d’inconnue $C$ , puis écrire la solution complète.

Exemple

Cherchons la solution de $y' = -2y$ vérifiant $f(0) = 7$ . Les solutions sont les $f(x) = Ce^{-2x}$ . La condition initiale donne $f(0) = Ce^{0} = C = 7$ .

L’unique solution cherchée est donc $f(x) = 7e^{-2x}$ .

L’équation y’ = ay + b

Théorème : Solutions de $y' = ay + b$

Soient $a$ un réel non nul et $b$ un réel. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de $y' = ay + b$ sont les fonctions :

f(x) = C\,e^{ax} - \frac{b}{a}, \qquad C \in \mathbb{R}

La fonction constante égale à $-\dfrac{b}{a}$ est elle-même une solution, dite solution particulière constante.

Démonstration

L’idée est de se ramener au cas précédent. Posons $z(x) = f(x) + \dfrac{b}{a}$ , où $f$ est une solution de $y' = ay + b$ . Comme $\dfrac{b}{a}$ est une constante, $z' = f'$ , donc :

z'(x) = a f(x) + b = a\left(z(x) - \tfrac{b}{a}\right) + b = a\,z(x) - b + b = a\,z(x)

La fonction $z$ est donc solution de $z' = az$ , d’où $z(x) = Ce^{ax}$ d’après le théorème précédent. En revenant à $f$ :

f(x) = z(x) - \frac{b}{a} = C\,e^{ax} - \frac{b}{a}

Remarque : retrouver la solution constante

Plutôt que de mémoriser $-\dfrac{b}{a}$ , on peut la retrouver : une solution constante a une dérivée nulle, donc elle vérifie $0 = ay + b$ , soit $y = -\dfrac{b}{a}$ . Cette valeur est aussi la limite des solutions quand $a < 0$ .

Quand a est négatif, toutes les solutions de y’ = ay + b convergent vers la valeur constante −b/a.

Exemple

Résolvons $y' = -2y + 6$ avec la condition $f(0) = 5$ . Ici $a = -2$ et $b = 6$ , donc la solution constante vaut $-\dfrac{6}{-2} = 3$ et les solutions sont $f(x) = Ce^{-2x} + 3$ .

La condition initiale donne $f(0) = C + 3 = 5$ , donc $C = 2$ . L’unique solution est :

f(x) = 2e^{-2x} + 3

Comme $a = -2 < 0$ , on a $e^{-2x} \to 0$ en $+\infty$ , donc $f(x) \to 3$ : la droite d’équation $y = 3$ est asymptote horizontale.

Modéliser avec une équation différentielle

L’intérêt du chapitre est de traduire un énoncé en équation. Trois situations reviennent constamment.

Situation	Énoncé	Équation
Croissance ou décroissance	La vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente	$y' = ay$
Refroidissement	La vitesse de refroidissement est proportionnelle à l’écart avec la température ambiante $\theta_a$	$\theta' = -k(\theta - \theta_a)$
Charge d’un condensateur	La tension tend vers la tension du générateur $E$	$u' = -\dfrac{1}{RC}(u - E)$

Méthode : traiter un problème de modélisation

Traduire l’énoncé en équation, en développant pour obtenir la forme $y' = ay + b$ .
Identifier $a$ et $b$ , puis écrire les solutions.
Utiliser la condition initiale, souvent la valeur à l’instant $t = 0$ .
Répondre à la question posée : valeur à un instant, limite, ou instant où un seuil est atteint, ce dernier cas se traitant avec le logarithme.

Exemple : un café qui refroidit

Un café à $90$ degrés est posé dans une pièce à $20$ degrés. Sa température $\theta(t)$ , en degrés, à l’instant $t$ en minutes, vérifie $\theta'(t) = -0{,}1\big(\theta(t) - 20\big)$ .

On développe pour reconnaître la forme du cours : $\theta' = -0{,}1\,\theta + 2$ , donc $a = -0{,}1$ et $b = 2$ . La solution constante vaut $-\dfrac{2}{-0{,}1} = 20$ , ce qui est bien la température de la pièce. Les solutions sont :

\theta(t) = C\,e^{-0{,}1\,t} + 20

La condition initiale $\theta(0) = 90$ donne $C + 20 = 90$ , donc $C = 70$ et $\theta(t) = 70e^{-0{,}1t} + 20$ .

Au bout de combien de temps le café atteint il $40$ degrés ? On résout $70e^{-0{,}1t} + 20 = 40$ , soit $e^{-0{,}1t} = \dfrac{2}{7}$ . En appliquant le logarithme :

-0{,}1\,t = \ln\!\left(\tfrac{2}{7}\right) \iff t = -10\ln\!\left(\tfrac{2}{7}\right) = 10\ln\!\left(\tfrac{7}{2}\right) \approx 12{,}5

Il faut donc environ $12{,}5$ minutes. On vérifie la cohérence : la température tend vers $20$ degrés quand $t$ grandit, ce qui est bien la température de la pièce.

Erreurs classiques à éviter

Oublier la constante $C$ dans les solutions.
Une équation différentielle a une infinité de solutions. Écrire $f(x) = e^{ax}$ au lieu de $Ce^{ax}$ revient à n’en donner qu’une seule.
Se tromper de signe dans la solution constante.
Pour $y' = ay + b$ , la solution constante vaut $-\dfrac{b}{a}$ . On la retrouve en résolvant $0 = ay + b$ .
Écrire $f(x) = Ce^{ax} + b$ pour l’équation $y' = ay + b$ .
Le terme constant est $-\dfrac{b}{a}$ , pas $b$ . Pour $y' = -2y + 6$ , il vaut $3$ , et non $6$ .
Appliquer la formule de $y' = ay$ à une équation non développée.
Une écriture comme $\theta' = -k(\theta - \theta_a)$ doit d’abord être développée en $\theta' = -k\theta + k\theta_a$ pour identifier $a$ et $b$ .
Utiliser la condition initiale avant d’avoir écrit la forme générale.
L’ordre est imposé : d’abord toutes les solutions avec $C$ , ensuite seulement le calcul de $C$ à partir de la condition initiale.
Confondre le rôle de $a$ et celui de $C$ .
$a$ vient de l’équation et fixe le comportement (croissance si $a>0$ , décroissance si $a<0$ ). $C$ vient de la condition initiale et fixe seulement la courbe choisie dans la famille.

Et maintenant

Le cours est lu ? Vérifie qu’il est acquis : le QCM repère les trous, les exercices confirment en conditions réelles, les flashcards ancrent les formules.

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