Partie 2 · Analyse · Chapitre 13

Les fonctions trigonométriques

Cosinus, sinus, dérivées, équations trigonométriques.

Jusqu’ici, cosinus et sinus servaient à mesurer des angles dans un triangle. On change ici de point de vue : ce sont désormais des fonctions, définies pour tout réel, que l’on va dériver et étudier comme les autres. Leur particularité est de se répéter indéfiniment, ce qui en fait l’outil naturel pour décrire tout ce qui oscille : une marée, un courant alternatif, un son, un ressort.

Le cercle trigonométrique et le radian

Définition : Cercle trigonométrique et enroulement

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , muni d’un sens direct (le sens inverse des aiguilles d’une montre). En enroulant la droite des réels autour de ce cercle à partir du point $I(1\,;\, 0)$ , on associe à tout réel $x$ un unique point $M$ du cercle.

Le réel $x$ est alors la mesure en radians de l’angle correspondant. Le tour complet mesure $2\pi$ radians, soit $360$ degrés.

Définition : Cosinus et sinus d’un réel

Si $M$ est le point associé au réel $x$ , alors $\cos x$ est son abscisse et $\sin x$ son ordonnée :

M\big(\cos x\,;\, \sin x\big)

Le cercle trigonométrique : le cosinus se lit en abscisse, le sinus en ordonnée, avec les angles remarquables.

Propriété : Conséquences immédiates

Le point $M$ étant sur le cercle de rayon $1$ , ses coordonnées vérifient, pour tout réel $x$ :

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

De plus, l’abscisse et l’ordonnée d’un point du cercle unité restent comprises entre $-1$ et $1$ :

-1 \leqslant \cos x \leqslant 1 \qquad -1 \leqslant \sin x \leqslant 1

Les valeurs remarquables doivent être connues par cœur. Le tableau suivant les rassemble sur le premier quart de tour.

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\sin x$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$

Remarque : un moyen de mémoriser

Sur la ligne du cosinus, les valeurs s’écrivent $\dfrac{\sqrt{4}}{2}$ , $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\dfrac{\sqrt{1}}{2}$ , $\dfrac{\sqrt{0}}{2}$ : les nombres sous la racine descendent de $4$ à $0$ . La ligne du sinus est la même, lue à l’envers.

Périodicité et parité

Propriété : Périodicité

Ajouter un tour complet ramène au même point du cercle. Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $k$ :

\cos(x + 2k\pi) = \cos x \qquad \sin(x + 2k\pi) = \sin x

Les fonctions cosinus et sinus sont donc **périodiques de période $2\pi$ **. Il suffit de les étudier sur un intervalle de longueur $2\pi$ , par exemple $\left]-\pi\,;\, \pi\right]$ .

Propriété : Parité

Pour tout réel $x$ :

\cos(-x) = \cos x \qquad \sin(-x) = -\sin x

La fonction cosinus est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. La fonction sinus est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

Les angles associés

Les symétries du cercle permettent de ramener n’importe quel angle à un angle du premier quart de tour. Ces formules se retrouvent toutes en plaçant le point sur le cercle, il est inutile de les apprendre bêtement.

Les quatre points associés à x sur le cercle : chacun se déduit du premier par une symétrie.

Angle	Cosinus	Sinus
$-x$	$\cos x$	$-\sin x$
$\pi - x$	$-\cos x$	$\sin x$
$\pi + x$	$-\cos x$	$-\sin x$
$\dfrac{\pi}{2} - x$	$\sin x$	$\cos x$
$\dfrac{\pi}{2} + x$	$-\sin x$	$\cos x$

Exemple

Calculons $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ . On écrit $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$ , donc $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$ .

De même, $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$ .

Formules d’addition et de duplication

Théorème : Formules d’addition

Pour tous réels $a$ et $b$ :

\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b

\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b

\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b

\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b

Remarque : attention aux signes

Pour le cosinus, le signe change : un plus dans la parenthèse donne un moins dans la formule. Pour le sinus, le signe est conservé. C’est le piège classique du chapitre.

Propriété : Formules de duplication

En prenant $b = a$ dans les formules d’addition :

\sin(2a) = 2\sin a \cos a

\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a

Démonstration

Démontrons les trois écritures de $\cos(2a)$ . La formule d’addition avec $b = a$ donne directement $\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$ .

En remplaçant $\sin^2 a$ par $1 - \cos^2 a$ , on obtient $\cos(2a) = \cos^2 a - (1 - \cos^2 a) = 2\cos^2 a - 1$ . En remplaçant au contraire $\cos^2 a$ par $1 - \sin^2 a$ , on obtient $\cos(2a) = 1 - \sin^2 a - \sin^2 a = 1 - 2\sin^2 a$ .

Exemple

Calculons la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ . On écrit $\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4}$ et on applique la formule de $\cos(a-b)$ :

\cos\!\left(\tfrac{\pi}{12}\right) = \cos\tfrac{\pi}{3}\cos\tfrac{\pi}{4} + \sin\tfrac{\pi}{3}\sin\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{1}{2}\times\tfrac{\sqrt{2}}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\times\tfrac{\sqrt{2}}{2}

En regroupant : $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Équations trigonométriques

Théorème : Résoudre $\cos x = \cos a$ et $\sin x = \sin a$

Pour tout réel $a$ , et $k$ décrivant les entiers relatifs :

\cos x = \cos a \iff x = a + 2k\pi \ \text{ ou } \ x = -a + 2k\pi

\sin x = \sin a \iff x = a + 2k\pi \ \text{ ou } \ x = \pi - a + 2k\pi

Résoudre cos x = 1/2 : la droite verticale d’abscisse 1/2 coupe le cercle en deux points, symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

Méthode : résoudre une équation trigonométrique

Écrire le second membre sous la forme $\cos a$ ou $\sin a$ , avec $a$ un angle remarquable.
Appliquer l’équivalence ci-dessus pour obtenir toutes les solutions dans $\mathbb{R}$ .
Si l’énoncé impose un intervalle, faire varier $k$ et ne garder que les solutions qui y appartiennent.

Exemple

Résolvons $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur $\left[0\,;\, 2\pi\right]$ . Comme $\dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3}$ , les solutions dans $\mathbb{R}$ sont $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ .

Sur $\left[0\,;\, 2\pi\right]$ , la première famille donne $\dfrac{\pi}{3}$ (pour $k = 0$ ), la seconde donne $-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{5\pi}{3}$ (pour $k = 1$ ). L’ensemble des solutions est $S = \left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\, \dfrac{5\pi}{3}\right\}$ .

Dérivées et étude des fonctions

Théorème : Dérivées de cosinus et sinus

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ , et :

(\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x

Ces deux résultats découlent de la limite fondamentale $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ , qui n’est autre que le nombre dérivé de la fonction sinus en $0$ .

Propriété : Dérivées composées

En appliquant la formule de la composée (chapitre 8), pour $a$ et $b$ réels :

\big(\sin(ax + b)\big)' = a\cos(ax + b) \qquad \big(\cos(ax + b)\big)' = -a\sin(ax + b)

Plus généralement, avec une fonction $u$ dérivable : $(\sin u)' = u'\cos u$ et $(\cos u)' = -u'\sin u$ .

Exemple

Pour $f(x) = \sin(3x)$ , on a $f'(x) = 3\cos(3x)$ . Pour $g(x) = \cos\left(x^2\right)$ , on a $u = x^2$ et $u' = 2x$ , donc $g'(x) = -2x\sin\left(x^2\right)$ .

Propriété : Variations sur une période

Sur $\left[0\,;\, 2\pi\right]$ , la fonction sinus croît sur $\left[0\,;\, \dfrac{\pi}{2}\right]$ , décroît sur $\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\, \dfrac{3\pi}{2}\right]$ , puis croît de nouveau. La fonction cosinus décroît sur $\left[0\,;\, \pi\right]$ puis croît sur $\left[\pi\,;\, 2\pi\right]$ .

Les courbes du sinus et du cosinus sur deux périodes : mêmes oscillations, décalées d’un quart de tour.

Erreurs classiques à éviter

Se tromper de signe dans la formule d’addition du cosinus.
$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ : le signe change. Pour le sinus au contraire, il est conservé.
Écrire $\cos(2a) = 2\cos a$ .
Faux : $\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1$ . Le cosinus n’est pas une fonction linéaire, on ne sort pas le facteur $2$ .
Oublier la seconde famille de solutions d’une équation.
$\cos x = \cos a$ donne deux familles : $x = a + 2k\pi$ et $x = -a + 2k\pi$ . Ne garder que la première fait perdre la moitié des solutions.
Confondre les deux équivalences pour cosinus et sinus.
Pour le cosinus, la seconde famille est $-a + 2k\pi$ ; pour le sinus, c’est $\pi - a + 2k\pi$ . Le cercle permet de retrouver laquelle est laquelle.
Oublier le facteur $a$ en dérivant $\sin(ax+b)$ .
$\big(\sin(3x)\big)' = 3\cos(3x)$ , pas $\cos(3x)$ . C’est la dérivée de la composée.
Oublier le signe moins en dérivant le cosinus.
$(\cos x)' = -\sin x$ . Le signe moins vient de la décroissance du cosinus au voisinage de $0$ .
Garder toutes les valeurs de $k$ quand un intervalle est imposé.
Il faut tester les entiers $k$ et ne conserver que les solutions appartenant à l’intervalle demandé.

Et maintenant

Le cours est lu ? Vérifie qu’il est acquis : le QCM repère les trous, les exercices confirment en conditions réelles, les flashcards ancrent les formules.

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