Partie 2 · Analyse · Chapitre 12

La fonction logarithme

Propriétés algébriques, limites, dérivée.

La fonction exponentielle transforme une somme en produit : $e^{a+b} = e^a \times e^b$ . Le logarithme fait le chemin inverse, et c’est ce qui en fait tout l’intérêt : il transforme un produit en somme. Historiquement, cette propriété a servi à remplacer des multiplications pénibles par des additions. Aujourd’hui, elle sert surtout à résoudre les équations où l’inconnue se trouve en exposant, et à décrire les phénomènes dont l’échelle est multiplicative.

Définition

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , à valeurs dans $\left]0\,;\, +\infty\right[$ . D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 11), pour tout réel $x$ strictement positif, l’équation $e^{y} = x$ admet une unique solution $y$ . C’est ce nombre que l’on appelle logarithme.

Définition : Logarithme népérien

Pour tout réel $x > 0$ , le logarithme népérien de $x$ , noté $\ln x$ , est l’unique réel dont l’exponentielle vaut $x$ :

\ln x = y \iff e^{\,y} = x \qquad (x > 0)

La fonction logarithme népérien est définie sur $\left]0\,;\, +\infty\right[$ . Elle est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Remarque : attention à l’ensemble de définition

Le logarithme d’un nombre négatif ou nul n’existe pas. Les écritures $\ln(0)$ et $\ln(-3)$ n’ont aucun sens, car l’exponentielle est toujours strictement positive. Avant toute résolution, il faut donc déterminer l’ensemble de définition.

Propriété : Relations fondamentales

$\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$ ;
$e^{\ln x} = x$ pour tout $x > 0$ ;
$\ln\left(e^{x}\right) = x$ pour tout réel $x$ ;
$\ln x > 0$ si et seulement si $x > 1$ , et $\ln x < 0$ si et seulement si $0 < x < 1$ .

Les propriétés algébriques

Théorème : Logarithme d’un produit

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :

\ln(ab) = \ln a + \ln b

Démonstrationexigible au bac

Soient $a > 0$ et $b > 0$ . Calculons l’exponentielle du nombre $\ln a + \ln b$ , en utilisant la propriété $e^{u+v} = e^{u} \times e^{v}$ :

e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln a} \times e^{\ln b} = a \times b

Le nombre $\ln a + \ln b$ est donc un réel dont l’exponentielle vaut $ab$ . Or, par définition, $\ln(ab)$ est l’unique réel ayant cette propriété. Les deux nombres sont donc égaux :

\ln(ab) = \ln a + \ln b

Propriété : Les autres règles de calcul

Pour tous réels $a > 0$ , $b > 0$ et tout entier relatif $n$ :

$\ln\left(\dfrac{1}{b}\right) = -\ln b$ ;
$\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$ ;
$\ln\left(a^{n}\right) = n \ln a$ ;
$\ln\left(\sqrt{a}\right) = \dfrac{1}{2}\ln a$ .

Démonstration

Démontrons la première règle. En appliquant le théorème du produit à $b$ et $\dfrac{1}{b}$ , dont le produit vaut $1$ :

\ln\!\left(b \times \tfrac{1}{b}\right) = \ln b + \ln\!\left(\tfrac{1}{b}\right) = \ln 1 = 0

On en déduit $\ln\left(\dfrac{1}{b}\right) = -\ln b$ . La règle du quotient s’obtient alors en écrivant $\dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}$ , et celle de la puissance en répétant le théorème du produit.

Exemple : simplifier une expression

Exprimons $A = \ln 8 - \ln 2$ en fonction de $\ln 2$ . Comme $8 = 2^3$ , on a $\ln 8 = 3\ln 2$ , donc $A = 3\ln 2 - \ln 2 = 2\ln 2$ . On pouvait aussi écrire directement $A = \ln\left(\dfrac{8}{2}\right) = \ln 4 = \ln\left(2^2\right) = 2\ln 2$ .

De même, $\ln\left(\dfrac{1}{e}\right) = -\ln e = -1$ , et $\ln\left(\sqrt{e}\right) = \dfrac{1}{2}\ln e = \dfrac{1}{2}$ .

Dérivée, variations et limites

Théorème : Dérivée du logarithme

La fonction logarithme népérien est dérivable sur $\left]0\,;\, +\infty\right[$ , et :

(\ln x)' = \frac{1}{x}

Démonstrationexigible au bac

Admettons que la fonction logarithme est dérivable sur $\left]0\,;\, +\infty\right[$ . Pour tout $x > 0$ , on part de la relation $e^{\ln x} = x$ et on dérive les deux membres.

À gauche, il s’agit d’une composée de la forme $e^{u}$ , dont la dérivée est $u'e^{u}$ (chapitre 8), avec $u = \ln x$ . À droite, la dérivée de $x$ vaut $1$ . On obtient :

(\ln x)' \times e^{\ln x} = 1

Or $e^{\ln x} = x$ , d’où $(\ln x)' \times x = 1$ . Comme $x > 0$ , on peut diviser :

(\ln x)' = \frac{1}{x}

Propriété : Variations et convexité

Sur $\left]0\,;\, +\infty\right[$ , la dérivée $\dfrac{1}{x}$ est strictement positive : la fonction logarithme est strictement croissante.

Sa dérivée seconde vaut $-\dfrac{1}{x^2}$ , strictement négative : la fonction logarithme est concave sur tout son ensemble de définition.

Propriété : Limites aux bornes

\lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \ln x = -\infty \qquad \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty

La première limite signifie que l’axe des ordonnées, d’équation $x = 0$ , est asymptote verticale à la courbe. La seconde montre que le logarithme n’est pas majoré, même s’il croît très lentement.

La courbe du logarithme : elle coupe l’axe des abscisses en 1 et admet l’axe des ordonnées pour asymptote verticale.

Remarque : une croissance très lente

Le logarithme tend vers l’infini, mais avec une lenteur remarquable. Il faut $x$ supérieur à $22\,026$ pour que $\ln x$ dépasse seulement $10$ . C’est cette lenteur que traduisent les croissances comparées, vues plus bas.

La courbe et sa symétrie avec l’exponentielle

Propriété : Deux courbes symétriques

Les fonctions logarithme et exponentielle étant réciproques l’une de l’autre, leurs courbes sont **symétriques par rapport à la droite d’équation $y = x$ **.

La courbe du logarithme est l’image de celle de l’exponentielle par la symétrie d’axe la droite d’équation y = x.

Propriété : Position par rapport à la tangente en 1

La tangente à la courbe du logarithme au point d’abscisse $1$ a pour équation $y = x - 1$ . La fonction étant concave, sa courbe est située en dessous de toutes ses tangentes, d’où l’inégalité, valable pour tout $x > 0$ :

\ln x \leqslant x - 1

Concave, la courbe du logarithme reste sous sa tangente en 1, la droite d’équation y = x − 1.

Équations et inéquations

Propriété : Le logarithme conserve l’ordre

La fonction étant strictement croissante, pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ :

\ln a = \ln b \iff a = b \qquad \text{et} \qquad \ln a < \ln b \iff a < b

Le sens des inégalités est donc conservé, à la différence de ce qui se produirait avec une fonction décroissante.

Méthode : résoudre une équation avec des logarithmes

Déterminer d’abord l’ensemble de définition : chaque expression placée sous un logarithme doit être strictement positive.
Regrouper les logarithmes en un seul, grâce aux propriétés algébriques.
Utiliser l’équivalence $\ln A = \ln B \iff A = B$ , puis résoudre.
Vérifier que les solutions trouvées appartiennent bien à l’ensemble de définition, et écarter les autres.

Exemple : une équation

Résolvons $\ln x + \ln(x - 1) = \ln 6$ . L’ensemble de définition impose $x > 0$ et $x - 1 > 0$ , donc $x > 1$ .

On regroupe le membre de gauche : $\ln\big(x(x-1)\big) = \ln 6$ , d’où $x(x-1) = 6$ , soit :

x^2 - x - 6 = 0 \iff (x - 3)(x + 2) = 0

Les solutions de cette équation sont $3$ et $-2$ . Mais $-2$ n’appartient pas à l’ensemble de définition et doit être écarté. L’ensemble des solutions est $S = \{3\}$ .

Exemple : une inéquation, et une équation avec l’inconnue en exposant

Résolvons $\ln(2x - 1) \leqslant 1$ . L’ensemble de définition impose $x > \dfrac{1}{2}$ . Comme $1 = \ln e$ , l’inéquation devient $\ln(2x-1) \leqslant \ln e$ , soit $2x - 1 \leqslant e$ , donc $x \leqslant \dfrac{e+1}{2}$ . L’ensemble des solutions est $S = \left]\dfrac{1}{2}\,;\, \dfrac{e+1}{2}\right]$ .

Le logarithme sert aussi à faire descendre une inconnue placée en exposant. Pour résoudre $2^{n} > 1000$ , on applique le logarithme aux deux membres, ce qui est licite car il est strictement croissant : $n \ln 2 > \ln 1000$ , donc $n > \dfrac{\ln 1000}{\ln 2} \approx 9{,}97$ . Le plus petit entier convenable est $n = 10$ .

Croissances comparées

Théorème : Croissances comparées

Le logarithme croît moins vite que toute puissance de $x$ . Plus précisément :

\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \qquad \qquad \lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} x \ln x = 0

Plus généralement, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^{\,n}} = 0$ pour tout entier $n \geqslant 1$ .

Remarque : comment les retenir

Dans une forme indéterminée mêlant un logarithme et une puissance, c’est toujours la puissance qui l’emporte. Le quotient $\dfrac{\ln x}{x}$ tend donc vers $0$ , et le produit $x\ln x$ aussi, malgré la forme indéterminée $0 \times \infty$ .

Exemple

Cherchons $\lim\limits_{x \to +\infty} \big(x - \ln x\big)$ . C’est une forme indéterminée $\infty - \infty$ . On factorise par $x$ :

x - \ln x = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right)

Par croissances comparées, $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$ , donc la parenthèse tend vers $1$ . Comme $x \to +\infty$ , le produit tend vers $+\infty$ .

Dérivée de ln(u) et logarithme décimal

Propriété : Dérivée d’une composée

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ , alors $\ln(u)$ est dérivable sur $I$ et :

\big(\ln u\big)' = \frac{u'}{u}

Exemple

Pour $f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right)$ , on a $u = x^2 + 1 > 0$ et $u' = 2x$ , donc $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ .

Pour $g(x) = x\ln x$ sur $\left]0\,;\, +\infty\right[$ , on dérive un produit : $g'(x) = 1 \times \ln x + x \times \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$ .

Définition : Logarithme décimal

Le logarithme décimal, noté $\log$ , est défini pour $x > 0$ par :

\log x = \frac{\ln x}{\ln 10}

Il vérifie $\log 10 = 1$ , $\log 100 = 2$ , et plus généralement $\log\left(10^{n}\right) = n$ . C’est lui qu’utilisent la physique et la chimie, notamment pour le pH ou l’échelle des décibels.

Erreurs classiques à éviter

Écrire $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$ .
C’est le produit qui devient une somme : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ . Le logarithme d’une somme ne se simplifie pas.
Oublier l’ensemble de définition avant de résoudre.
Chaque expression sous un logarithme doit être strictement positive. Sans cette étape, on garde des solutions qui n’existent pas, comme $-2$ dans l’équation $\ln x + \ln(x-1) = \ln 6$ .
Croire que $\ln x$ est toujours positif.
Le logarithme est négatif sur $\left]0\,;\, 1\right[$ , nul en $1$ , positif au delà. Par exemple $\ln 0{,}5 \approx -0{,}69$ .
Changer le sens d’une inégalité en appliquant le logarithme.
La fonction est strictement croissante : le sens de l’inégalité est conservé. $\ln a < \ln b$ équivaut à $a < b$ .
Écrire $(\ln u)' = \dfrac{1}{u}$ .
Il manque la dérivée intérieure : $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ . Pour $\ln(x^2+1)$ , la dérivée est $\dfrac{2x}{x^2+1}$ , pas $\dfrac{1}{x^2+1}$ .
Confondre $\ln\left(x^2\right)$ et $(\ln x)^2$ .
Ce sont deux fonctions différentes : $\ln\left(x^2\right) = 2\ln x$ , alors que $(\ln x)^2$ est le carré du logarithme, qui ne se simplifie pas.
Hésiter devant une forme indéterminée avec un logarithme.
Face à une puissance, c’est toujours la puissance qui l’emporte : $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$ en $+\infty$ et $x\ln x \to 0$ en $0$ .

Et maintenant

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