Partie 2 · Analyse · Chapitre 11

La continuité

Théorème des valeurs intermédiaires.

Tracer la courbe d’une fonction « sans lever le crayon » : cette image d’école décrit exactement la continuité. Derrière elle se cache l’un des théorèmes les plus utiles de terminale, le théorème des valeurs intermédiaires, qui permet d’affirmer qu’une équation possède une solution sans savoir la calculer. C’est un changement de point de vue important : on démontre l’existence d’un nombre avant de chercher sa valeur, puis on l’approche par un algorithme.

La notion de continuité

Définition : Continuité en un point

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I$ . La fonction $f$ est **continue en $a$ ** lorsqu’elle admet une limite en $a$ et que cette limite vaut $f(a)$ :

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

La fonction $f$ est **continue sur $I$ ** lorsqu’elle est continue en chaque point de $I$ .

Concrètement, la courbe d’une fonction continue sur un intervalle se trace d’un seul trait, sans saut ni trou. À l’inverse, une fonction discontinue présente une rupture : la valeur en $a$ ne coïncide pas avec celle vers laquelle on se dirige.

À gauche une fonction continue, tracée d’un seul trait. À droite une fonction discontinue : la courbe saute en a.

Exemple : une fonction discontinue

La fonction partie entière, qui à un réel associe le plus grand entier qui lui est inférieur ou égal, est discontinue en chaque entier. En $2$ , par exemple, elle vaut $2$ , mais les valeurs juste à gauche valent $1$ : la limite à gauche est $1$ , différente de $f(2) = 2$ .

Quelles fonctions sont continues

Théorème : Continuité des fonctions usuelles

Sont continues sur tout intervalle contenu dans leur ensemble de définition :

les fonctions polynômes, sur $\mathbb{R}$ tout entier ;
les fonctions rationnelles, sur chaque intervalle où le dénominateur ne s’annule pas ;
la fonction racine carrée, sur $\left[0\,;\, +\infty\right[$ ;
la fonction exponentielle, sur $\mathbb{R}$ ;
les fonctions cosinus et sinus, sur $\mathbb{R}$ .

De plus, les sommes, produits, quotients (là où le dénominateur ne s’annule pas) et composées de fonctions continues sont continues.

Remarque : en pratique

Presque toutes les fonctions rencontrées au lycée sont continues sur leur ensemble de définition. Justifier la continuité se fait donc en une phrase : « $f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ », ou « $f$ est un quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas sur $I$ , donc $f$ est continue sur $I$ ».

Théorème : Dérivabilité et continuité

Si une fonction est dérivable sur un intervalle $I$ , alors elle est continue sur $I$ .

Remarque : la réciproque est fausse

Une fonction continue n’est pas nécessairement dérivable. La fonction valeur absolue $x \mapsto \lvert x \rvert$ est continue sur $\mathbb{R}$ , mais elle n’est pas dérivable en $0$ : sa courbe y présente un point anguleux, sans tangente unique.

Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème : Théorème des valeurs intermédiaires

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;\, b]$ . Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un réel $c$ de $[a\,;\, b]$ tel que :

f(c) = k

Autrement dit, une fonction continue ne peut pas passer d’une valeur à une autre sans prendre toutes les valeurs intermédiaires. Elle ne peut pas « sauter » par dessus $k$ .

La courbe joint le point d’ordonnée f(a) à celui d’ordonnée f(b) : elle coupe donc la droite d’équation y = k.

Remarque : la continuité est indispensable

Sans continuité, le théorème tombe. La fonction partie entière passe de la valeur $1$ à la valeur $2$ sans jamais prendre la valeur $1{,}5$ : elle saute. C’est bien l’absence de saut qui fait fonctionner le théorème.

Le cas d’une fonction strictement monotone

Théorème : Corollaire : unicité de la solution

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur $[a\,;\, b]$ . Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , l’équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a\,;\, b]$ .

Le théorème s’étend aux intervalles ouverts ou non bornés, en remplaçant $f(a)$ et $f(b)$ par les limites de $f$ aux bornes.

Strictement croissante, la fonction ne prend chaque valeur qu’une seule fois : la solution c est unique.

Méthode : rédiger l’application du corollaire

Trois points doivent apparaître dans la copie, sous peine de perdre des points : la continuité, la stricte monotonie, et le fait que $k$ est bien compris entre les valeurs ou limites aux bornes.

Justifier la continuité, en général en une phrase.
Justifier la stricte monotonie, par le signe de la dérivée.
Calculer les valeurs ou les limites aux bornes de l’intervalle, et vérifier que $k$ est entre les deux.
Conclure : l’équation admet une unique solution, souvent notée $\alpha$ .

Exemple : une équation qui ne se résout pas à la main

Montrons que l’équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution dans $[0\,;\, 1]$ . On pose $f(x) = x^3 + x - 1$ .

La fonction $f$ est un polynôme, donc continue sur $[0\,;\, 1]$ . Sa dérivée $f'(x) = 3x^2 + 1$ est strictement positive, donc $f$ est strictement croissante.

Enfin $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$ , et $0$ est bien compris entre $-1$ et $1$ . D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;\, 1]$ .

Approcher la solution : balayage et dichotomie

Le théorème donne l’existence de $\alpha$ , mais pas sa valeur. Pour l’approcher, on encadre la solution de plus en plus finement, en exploitant le fait que $f$ change de signe de part et d’autre de $\alpha$ .

Méthode : le balayage

On calcule $f$ pour des valeurs régulièrement espacées, par exemple de $0{,}1$ en $0{,}1$ , jusqu’à repérer deux valeurs consécutives où $f$ change de signe. La solution est comprise entre ces deux là.

Exemple

Avec $f(x) = x^3 + x - 1$ : $f(0{,}6) = -0{,}184$ et $f(0{,}7) = 0{,}043$ . La fonction change de signe entre $0{,}6$ et $0{,}7$ , donc $0{,}6 < \alpha < 0{,}7$ .

En affinant au centième : $f(0{,}68) \approx -0{,}0056$ et $f(0{,}69) \approx 0{,}0185$ . Donc $0{,}68 < \alpha < 0{,}69$ .

Méthode : la dichotomie

Plus efficace, la dichotomie coupe l’intervalle en deux à chaque étape. Partant d’un intervalle $[a\,;\, b]$ sur lequel $f$ change de signe, on répète :

calculer le milieu $m = \dfrac{a + b}{2}$ ;
si $f(a)$ et $f(m)$ sont de signes contraires, la solution est dans $[a\,;\, m]$ : on remplace $b$ par $m$ ;
sinon, elle est dans $[m\,;\, b]$ : on remplace $a$ par $m$ ;
recommencer jusqu’à ce que la largeur $b - a$ soit inférieure à la précision voulue.

À chaque étape, l’intervalle contenant la solution est coupé en deux : sa largeur est divisée par 2.

Propriété : Vitesse de la dichotomie

Après $n$ étapes, la largeur de l’intervalle initial $[a\,;\, b]$ a été divisée par $2^n$ :

\text{largeur après } n \text{ étapes} = \frac{b - a}{2^{\,n}}

Pour atteindre une précision $p$ , il suffit donc de choisir $n$ tel que $\dfrac{b-a}{2^{\,n}} < p$ . Partant d’un intervalle de largeur $1$ , sept étapes suffisent pour descendre sous $10^{-2}$ , car $2^7 = 128 > 100$ .

Continuité et suites définies par récurrence

Propriété : Limite d’une suite récurrente

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ , où $f$ est continue sur un intervalle contenant tous les termes. Si $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ , alors :

f(\ell) = \ell

La limite est donc un point fixe de $f$ , solution de l’équation $f(x) = x$ .

Démonstration

Supposons que $(u_n)$ converge vers $\ell$ . La suite $(u_{n+1})$ est la même suite décalée d’un rang : elle converge donc aussi vers $\ell$ .

Par ailleurs $u_{n+1} = f(u_n)$ . Comme $u_n \to \ell$ et que $f$ est continue en $\ell$ , la suite $f(u_n)$ converge vers $f(\ell)$ . Les deux suites $u_{n+1}$ et $f(u_n)$ étant égales, elles ont la même limite, et l’unicité de la limite donne $f(\ell) = \ell$ .

Exemple

Considérons de nouveau la suite du chapitre 6 définie par $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 3$ . La fonction $f(x) = \dfrac{1}{2}x + 3$ est affine, donc continue. Si la suite converge vers $\ell$ , alors $\ell = \dfrac{1}{2}\ell + 3$ , d’où $\ell = 6$ . C’est bien la limite trouvée alors.

Remarque : attention à l’ordre du raisonnement

Cette propriété ne démontre pas que la suite converge : elle donne la valeur de la limite si la convergence est acquise. Il faut donc d’abord établir la convergence, par exemple avec le théorème des suites monotones, avant de résoudre $f(x) = x$ .

Erreurs classiques à éviter

Oublier de justifier la continuité avant d’appliquer le théorème.
La continuité est l’hypothèse centrale : sans elle, le théorème est faux. Une phrase suffit, mais elle doit figurer dans la copie.
Conclure à l’unicité sans stricte monotonie.
Le théorème seul donne l’existence d’au moins une solution. L’unicité exige en plus que la fonction soit strictement monotone sur l’intervalle.
Ne pas vérifier que $k$ est compris entre les valeurs aux bornes.
C’est une hypothèse à part entière. Si $k$ n’est pas entre $f(a)$ et $f(b)$ , on ne peut rien conclure sur $[a\,;\, b]$ .
Croire que continue implique dérivable.
C’est l’inverse qui est vrai : dérivable implique continue. La valeur absolue est continue partout mais non dérivable en $0$ .
Utiliser $f(\ell) = \ell$ pour prouver qu’une suite converge.
Cette égalité suppose la convergence déjà démontrée. Elle sert à calculer la limite, jamais à établir son existence.
Donner une valeur approchée sans encadrement.
Une valeur approchée doit s’appuyer sur un encadrement obtenu par balayage ou dichotomie, avec un changement de signe explicite.

Et maintenant

Le cours est lu ? Vérifie qu’il est acquis : le QCM repère les trous, les exercices confirment en conditions réelles, les flashcards ancrent les formules.

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