Partie 2 · Analyse · Chapitre 10

La convexité

Fonctions convexes, concaves, point d’inflexion.

Deux fonctions peuvent être toutes les deux croissantes et pourtant avoir des courbes d’allures très différentes : l’une peut monter de plus en plus vite, l’autre de moins en moins vite. Cette différence n’est pas une question de sens de variation, mais de courbure. La convexité est la notion qui décrit exactement cela. Le chapitre précédent en a donné l’outil de calcul, la dérivée seconde ; celui ci en donne le sens géométrique complet, et quelques applications remarquables.

Définition par les cordes

Définition : Fonction convexe, fonction concave

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , de courbe $\mathcal{C}$ . On appelle corde tout segment $[AB]$ joignant deux points $A$ et $B$ de $\mathcal{C}$ .

$f$ est convexe sur $I$ lorsque toute corde est située au-dessus de la courbe.
$f$ est concave sur $I$ lorsque toute corde est située en dessous de la courbe.

Pour une fonction convexe, la corde tracée en rouge passe au-dessus de l’arc de courbe qu’elle joint.

Remarque : un moyen de retenir

Une courbe convexe est creuse vers le haut : elle a la forme d’un récipient qui pourrait contenir de l’eau. Une courbe concave est bombée vers le haut, comme une colline. La parabole $y = x^2$ est convexe, la parabole $y = -x^2$ est concave.

Propriété : Passer de l’une à l’autre

$f$ est concave sur $I$ si et seulement si $-f$ est convexe sur $I$ . Tout résultat sur les fonctions convexes se transpose donc immédiatement aux fonctions concaves, en changeant les inégalités de sens.

Position par rapport aux tangentes

Propriété : Courbe et tangentes

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f$ est convexe sur $I$ , sa courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes.
Si $f$ est concave sur $I$ , sa courbe est située en dessous de chacune de ses tangentes.

Une fonction convexe reste au-dessus de toutes ses tangentes, tracées en rouge, quel que soit le point de contact.

Remarque

Il faut retenir les deux positions ensemble, car elles se complètent : pour une fonction convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes et en dessous de ses cordes. Elle est donc prise en sandwich entre les deux.

Caractérisations par la dérivée

Théorème : Convexité, dérivée et dérivée seconde

Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ . Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$ ;
$f'$ est croissante sur $I$ ;
$f''(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ .

De même, $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f'$ est décroissante sur $I$ , ce qui équivaut à $f''(x) \leqslant 0$ sur $I$ .

Le passage par $f'$ éclaire la géométrie : dire que $f'$ est croissante, c’est dire que le coefficient directeur de la tangente augmente à mesure qu’on avance. La tangente pivote donc toujours dans le même sens, et la courbe se creuse régulièrement vers le haut.

Si $f''$ est...	alors $f'$ est...	et $f$ est...	La courbe est...
positive	croissante	convexe	au-dessus de ses tangentes
négative	décroissante	concave	en dessous de ses tangentes
nulle sur $I$	constante	affine	confondue avec sa tangente

Méthode : étudier la convexité

Calculer $f'$ , la simplifier, puis calculer $f''$ .
Factoriser $f''$ pour en obtenir le signe.
Dresser le tableau de signes de $f''$ : là où elle est positive, $f$ est convexe ; là où elle est négative, $f$ est concave.
Repérer les changements de signe : ils donnent les points d’inflexion.

Les fonctions de référence

Il faut connaître la convexité des fonctions usuelles, car elle se lit directement sur le signe de leur dérivée seconde, calculée au chapitre précédent.

Fonction	$f''(x)$	Convexité
$x^2$	$2$	convexe sur $\mathbb{R}$
$x^3$	$6x$	concave sur $\left]-\infty\,;\,0\right]$ , convexe sur $\left[0\,;\,+\infty\right[$
$\sqrt{x}$	$-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}$	concave sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$
$e^{x}$	$e^{x}$	convexe sur $\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$	$\dfrac{2}{x^3}$	concave sur $\left]-\infty\,;\,0\right[$ , convexe sur $\left]0\,;\,+\infty\right[$
$ax + b$	$0$	à la fois convexe et concave

Remarque

Une fonction affine est le seul cas où la courbe est à la fois au-dessus et en dessous de ses tangentes : la tangente est la droite elle-même. Une fonction affine est donc considérée comme convexe et concave à la fois.

La parabole y = x² est convexe partout, la racine carrée est concave partout, et la cubique y = x³ change de convexité en O.

Les points d’inflexion

Définition : Point d’inflexion

Un point d’inflexion de la courbe de $f$ est un point en lequel $f$ change de convexité : la courbe passe de convexe à concave, ou l’inverse.

Propriété : Caractérisation d’un point d’inflexion

Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$ et $a$ un réel de $I$ . Le point de coordonnées $\left(a\,;\, f(a)\right)$ est un point d’inflexion si et seulement si $f''$ **s’annule en $a$ en changeant de signe**.

Propriété : La courbe traverse sa tangente

En un point d’inflexion, et seulement en un tel point, la courbe traverse sa tangente : elle passe d’un côté à l’autre. Ailleurs, elle reste du même côté.

Au point d’inflexion I, la courbe passe de concave à convexe et traverse sa tangente, tracée en rouge.

Exemple : la fonction cube

Pour $f(x) = x^3$ , on a $f''(x) = 6x$ , qui s’annule en $0$ en changeant de signe (négative avant, positive après). L’origine $O(0\,;\, 0)$ est donc un point d’inflexion. La tangente en $O$ a pour équation $y = 0$ , et la courbe la traverse bien : elle est en dessous pour $x < 0$ , au-dessus pour $x > 0$ .

Remarque : les deux pièges

Premier piège : l’annulation seule ne suffit pas. Pour $f(x) = x^4$ , $f''(x) = 12x^2$ s’annule en $0$ mais reste positive : la fonction reste convexe, il n’y a pas de point d’inflexion.

Second piège : il faut que le point existe. Pour la fonction inverse, $f''(x) = \dfrac{2}{x^3}$ change de signe autour de $0$ , mais $0$ n’appartient pas à l’ensemble de définition : la courbe n’a pas de point d’inflexion.

Lire la convexité sur un graphique

Méthode : les trois lectures possibles

**Sur la courbe de $f$ :** on repère les portions creuses vers le haut (convexes) et bombées (concaves). Les points d’inflexion sont les endroits où la courbure s’inverse.
**Sur la courbe de $f'$ :** $f$ est convexe là où $f'$ monte, concave là où $f'$ descend. Les points d’inflexion correspondent aux extremums de $f'$ .
**Sur la courbe de $f''$ :** $f$ est convexe là où $f''$ est au-dessus de l’axe des abscisses, concave en dessous. Les points d’inflexion sont les abscisses où $f''$ traverse l’axe.

Remarque

Attention à bien identifier quelle courbe est représentée. Une erreur fréquente aux épreuves consiste à lire les variations sur la courbe de $f'$ comme s’il s’agissait de celle de $f$ . Un extremum de $f'$ signale un point d’inflexion de $f$ , pas un extremum de $f$ .

Application : les inégalités de convexité

La position d’une courbe par rapport à ses tangentes fournit une méthode élégante pour démontrer des inégalités valables sur tout un intervalle, sans étudier de fonction auxiliaire compliquée.

Méthode : démontrer une inégalité par convexité

Reconnaître dans le membre le plus simple l’équation d’une tangente à la courbe de l’autre membre.
Établir la convexité (ou la concavité) de la fonction en étudiant le signe de $f''$ .
Conclure : si $f$ est convexe, sa courbe est au-dessus de la tangente, donc $f(x) \geqslant$ l’expression de la tangente.

Démonstration

Démontrons que pour tout réel $x$ , $\ e^{x} \geqslant x + 1$ . Posons $f(x) = e^{x}$ . Sa dérivée seconde vaut $f''(x) = e^{x} > 0$ pour tout réel $x$ : la fonction exponentielle est **convexe sur $\mathbb{R}$ **.

Déterminons sa tangente au point d’abscisse $0$ . On a $f(0) = e^{0} = 1$ et $f'(0) = e^{0} = 1$ , donc l’équation de la tangente est :

y = f'(0)(x - 0) + f(0) = x + 1

La fonction étant convexe, sa courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier de celle ci. On en déduit, pour tout réel $x$ :

e^{x} \geqslant x + 1

La courbe de l’exponentielle reste au-dessus de sa tangente en 0, la droite y = x + 1 tracée en rouge.

Exemple : avec une fonction concave

Montrons que pour tout $x > 0$ , $\ \sqrt{x} \leqslant \dfrac{x + 1}{2}$ . La fonction racine carrée a pour dérivée seconde $-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}$ , négative sur $\left]0\,;\, +\infty\right[$ : elle est concave.

Sa tangente au point d’abscisse $1$ s’obtient avec $f(1) = 1$ et $f'(1) = \dfrac{1}{2\sqrt{1}} = \dfrac{1}{2}$ :

y = \tfrac{1}{2}(x - 1) + 1 = \frac{x + 1}{2}

La fonction étant concave, sa courbe passe en dessous de ses tangentes, ce qui donne bien $\sqrt{x} \leqslant \dfrac{x+1}{2}$ pour tout $x > 0$ .

Erreurs classiques à éviter

Confondre convexe et croissante.
Les deux notions sont indépendantes. La croissance se lit sur le signe de $f'$ , la convexité sur celui de $f''$ . La fonction $\sqrt{x}$ est croissante et concave.
Inverser la position des cordes et des tangentes.
Pour une fonction convexe : la courbe est au-dessus de ses tangentes et en dessous de ses cordes. Une seule phrase à retenir, les deux positions étant opposées.
Conclure à un point d’inflexion dès que $f''$ s’annule.
Il faut un changement de signe. Pour $f(x) = x^4$ , $f''(0) = 0$ mais $f''$ reste positive : la fonction reste convexe.
Annoncer un point d’inflexion là où la fonction n’est pas définie.
Un point d’inflexion est un point de la courbe. Pour $f(x) = \frac{1}{x}$ , $f''$ change de signe autour de $0$ , mais $0$ est exclu du domaine : il n’y a pas de point d’inflexion.
Lire la convexité de $f$ sur la courbe de $f'$ comme s’il s’agissait de $f$ .
Sur la courbe de $f'$ , c’est le sens de variation qui compte : $f$ est convexe là où $f'$ monte. Un extremum de $f'$ signale un point d’inflexion de $f$ .
Oublier de préciser l’intervalle.
La convexité est une propriété locale, valable sur un intervalle. La fonction cube est concave puis convexe : il est faux de dire qu’elle est convexe sans préciser où.

Et maintenant

Le cours est lu ? Vérifie qu’il est acquis : le QCM repère les trous, les exercices confirment en conditions réelles, les flashcards ancrent les formules.

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