Partie 2 · Analyse · Chapitre 9

La dérivée seconde

Définition, calcul, interprétation.

La dérivée $f'$ mesure la vitesse à laquelle une fonction change : son signe donne le sens de variation de $f$ . Mais on peut poser la même question à propos de $f'$ elle-même. Est ce que la fonction croît de plus en plus vite, ou de moins en moins vite ? Répondre demande de dériver une seconde fois. On obtient la dérivée seconde, notée $f''$ , qui décrit non plus la pente de la courbe, mais la façon dont cette pente évolue : c’est ce qui donnera la forme de la courbe, creuse ou bombée.

Rappel : ce que dit la dérivée première

Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ . La fonction dérivée $f'$ associe à chaque $x$ ce coefficient directeur.

Propriété : Signe de la dérivée et variations

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f'(x) < 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Si $f'(x) = 0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Remarque

Le signe de $f'$ renseigne sur $f$ . Toute la logique de ce chapitre consiste à appliquer cette même règle un cran plus loin : le signe de $f''$ renseignera sur $f'$ .

Définition de la dérivée seconde

Définition : Dérivée seconde

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , dont la dérivée $f'$ est elle-même dérivable sur $I$ . On dit alors que $f$ est deux fois dérivable sur $I$ , et on appelle dérivée seconde de $f$ la dérivée de $f'$ :

f'' = \left(f'\right)'

On la note $f''$ (lire « $f$ seconde »). En physique, on rencontre aussi la notation $\dfrac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2}$ .

On dérive une première fois pour obtenir f’, une seconde fois pour obtenir f’’. Chaque flèche est une dérivation.

Remarque : attention à l’ordre

$f''$ n’est pas le carré de $f'$ , ni le produit $f \times f$ . C’est le résultat de deux dérivations successives. Ainsi, pour $f(x) = x^3$ , on a $f'(x) = 3x^2$ puis $f''(x) = 6x$ , et non $9x^4$ .

Calculer une dérivée seconde

Méthode : en trois temps

Calculer $f'(x)$ avec les règles habituelles (somme, produit, quotient, composée).
Simplifier l’expression de $f'$ autant que possible : c’est ce qui rend la seconde dérivation facile.
Dériver $f'$ à son tour pour obtenir $f''$ , puis factoriser si l’on veut en étudier le signe.

Exemple : un polynôme

Soit $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 7$ . On dérive une première fois :

f'(x) = 6x^2 - 10x + 4

Puis on dérive $f'$ :

f''(x) = 12x - 10

Remarque utile : à chaque dérivation, le degré d’un polynôme baisse de $1$ . Un polynôme de degré $3$ a donc une dérivée seconde de degré $1$ , donc affine.

Exemple : avec une composée

Soit $f(x) = (2x + 1)^4$ . La dérivée d’une composée $g(ax+b)$ vaut $a\,g'(ax+b)$ (chapitre 8) :

f'(x) = 2 \times 4(2x+1)^3 = 8(2x+1)^3

On dérive de nouveau, selon le même principe :

f''(x) = 8 \times 2 \times 3(2x+1)^2 = 48(2x+1)^2

Le tableau suivant rassemble les dérivées premières et secondes des fonctions de référence.

$f(x)$	$f'(x)$	$f''(x)$
$x^n$	$n\,x^{\,n-1}$	$n(n-1)\,x^{\,n-2}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\dfrac{2}{x^3}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}$
$e^{x}$	$e^{x}$	$e^{x}$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$	$-\cos(x)$
$\sin(x)$	$\cos(x)$	$-\sin(x)$

Remarque

La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée, donc aussi à sa dérivée seconde : $\left(e^{x}\right)'' = e^{x}$ . C’est la seule fonction de référence dans ce cas.

Ce que le signe de f’’ apprend sur f’

La dérivée seconde $f''$ est la dérivée de la fonction $f'$ . La règle du signe de la dérivée s’applique donc à $f'$ , exactement comme elle s’appliquait à $f$ .

Théorème : Signe de $f''$ et variations de $f'$

Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ .

Si $f''(x) > 0$ sur $I$ , alors $f'$ est croissante sur $I$ : les tangentes à la courbe ont des pentes de plus en plus grandes.
Si $f''(x) < 0$ sur $I$ , alors $f'$ est décroissante sur $I$ : les pentes des tangentes diminuent.

Signe de $f''$	Sens de variation de $f'$	Allure de la courbe de $f$
$f'' > 0$	$f'$ croissante	courbe convexe (creuse vers le haut)
$f'' < 0$	$f'$ décroissante	courbe concave (bombée vers le haut)
$f''$ s’annule en changeant de signe	$f'$ change de sens	point d’inflexion

Exemple

Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ . Alors $f'(x) = 3x^2 - 6x$ et $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$ . Le signe de $f''$ est celui de $x - 1$ : négatif avant $1$ , positif après. La dérivée $f'$ est donc décroissante sur $\left]-\infty\,;\, 1\right]$ puis croissante sur $\left[1\,;\, +\infty\right[$ , et elle atteint son minimum en $x = 1$ .

Interprétation cinématique : l’accélération

L’interprétation la plus parlante de la dérivée seconde vient de la physique. Un mobile se déplace sur un axe, et sa position à l’instant $t$ est donnée par une fonction $x(t)$ .

Propriété : Position, vitesse, accélération

La vitesse est la dérivée de la position : $v(t) = x'(t)$ .
L’accélération est la dérivée de la vitesse, donc la dérivée seconde de la position : $a(t) = v'(t) = x''(t)$ .

La position donne la vitesse par dérivation, et la vitesse donne l’accélération par une seconde dérivation.

Exemple : une balle lancée vers le haut

La hauteur d’une balle, en mètres, est donnée par $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ , où $t$ est en secondes. La vitesse est $v(t) = h'(t) = -10t + 20$ , et l’accélération $a(t) = h''(t) = -10$ .

L’accélération est constante et négative : c’est la pesanteur, qui freine la balle pendant la montée puis l’accélère vers le bas. La vitesse s’annule pour $t = 2$ : c’est l’instant où la balle atteint son point le plus haut, $h(2) = 21$ mètres.

Premier regard sur la convexité

Le signe de $f''$ ne décrit pas si la courbe monte ou descend, mais comment elle se courbe. C’est la notion de convexité, étudiée en détail au chapitre suivant, dont voici l’idée essentielle.

Définition : Convexe, concave

Une fonction dont la dérivée seconde est positive sur un intervalle y est dite convexe : sa courbe se creuse vers le haut, et se situe au-dessus de chacune de ses tangentes. Si la dérivée seconde est négative, la fonction est concave : la courbe est bombée et passe sous ses tangentes.

À gauche une portion convexe (f’’ positive), à droite une portion concave (f’’ négative). La tangente est tracée en rouge.

Définition : Point d’inflexion

Un point d’inflexion est un point de la courbe où la fonction change de convexité. Il correspond à une valeur où $f''$ s’annule en changeant de signe. En ce point, la courbe traverse sa propre tangente.

Au point d’inflexion I, la courbe passe de concave à convexe et traverse sa tangente, tracée en rouge.

Exemple : trouver un point d’inflexion

Considérons de nouveau $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ , de dérivée seconde $f''(x) = 6(x - 1)$ . Elle s’annule en $x = 1$ et change bien de signe en ce point (négative avant, positive après). La courbe admet donc un point d’inflexion d’abscisse $1$ , d’ordonnée $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ . Le point $I(1\,;\, -1)$ est un point d’inflexion.

Remarque : s’annuler ne suffit pas

Il ne suffit pas que $f''$ s’annule : elle doit changer de signe. Pour $f(x) = x^4$ , on a $f''(x) = 12x^2$ , qui s’annule en $0$ mais reste positive de part et d’autre. La fonction reste convexe, et l’origine n’est pas un point d’inflexion.

Méthode d’étude complète

Méthode : étudier la convexité d’une fonction

Calculer $f'(x)$ , puis $f''(x)$ .
Factoriser $f''(x)$ pour en lire le signe facilement.
Dresser le tableau de signes de $f''$ , et en déduire les intervalles où $f$ est convexe et ceux où elle est concave.
Repérer les valeurs où $f''$ s’annule en changeant de signe : ce sont les abscisses des points d’inflexion. Calculer alors $f$ en ces valeurs pour donner les coordonnées complètes.

Exemple

Soit $f(x) = x^4 - 6x^2$ . On calcule $f'(x) = 4x^3 - 12x$ , puis $f''(x) = 12x^2 - 12$ . On factorise :

f''(x) = 12\left(x^2 - 1\right) = 12(x - 1)(x + 1)

Ce produit est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles. Donc $f$ est convexe sur $\left]-\infty\,;\, -1\right]$ et sur $\left[1\,;\, +\infty\right[$ , et concave sur $\left[-1\,;\, 1\right]$ . La dérivée seconde change de signe en $-1$ et en $1$ : la courbe possède deux points d’inflexion, $\left(-1\,;\, -5\right)$ et $\left(1\,;\, -5\right)$ , puisque $f(\pm 1) = 1 - 6 = -5$ .

Erreurs classiques à éviter

Confondre $f''$ et $\left(f'\right)^2$ .
$f''$ est la dérivée de $f'$ , pas son carré. Pour $f(x) = x^3$ : $f'(x) = 3x^2$ et $f''(x) = 6x$ , alors que $\left(f'(x)\right)^2 = 9x^4$ .
Croire que le signe de $f''$ donne les variations de $f$ .
Le signe de $f''$ donne les variations de ** $f'$ , donc la forme** de la courbe (convexe ou concave). Les variations de $f$ se lisent toujours sur le signe de $f'$ .
Conclure à un point d’inflexion dès que $f''$ s’annule.
Il faut un changement de signe. Pour $f(x) = x^4$ , $f''(0) = 0$ mais $f''$ reste positive autour de $0$ : ce n’est pas un point d’inflexion.
Oublier de calculer l’ordonnée du point d’inflexion.
Un point a deux coordonnées. Après avoir trouvé l’abscisse $a$ où $f''$ change de signe, il faut calculer $f(a)$ pour donner le point $\left(a\,;\, f(a)\right)$ .
Dériver $f$ deux fois sans simplifier entre les deux étapes.
Simplifier et factoriser $f'$ avant de dériver de nouveau évite des calculs inutilement lourds, surtout avec un quotient ou une composée.
Croire qu’une fonction croissante est forcément convexe.
Les deux notions sont indépendantes. La fonction $\sqrt{x}$ est croissante et concave (car $f''(x) = -\frac{1}{4x\sqrt{x}} < 0$ ) ; la fonction $e^{x}$ est croissante et convexe. Le sens de variation vient de $f'$ , la convexité de $f''$ .

Et maintenant

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