Partie 2 · Analyse · Chapitre 8

La composée de deux fonctions

Composition et formule de dérivation.

Beaucoup de fonctions se fabriquent en enchaînant deux opérations. Pour calculer $\sqrt{x^2 + 1}$ , on calcule d’abord $x^2 + 1$ , puis on en prend la racine. On a composé deux fonctions : l’une qui à $x$ associe $x^2 + 1$ , l’autre qui prend la racine. Ce chapitre définit cette composition, puis en tire tout ce dont on a besoin : sens de variation, limites, et surtout la dérivée d’une composée, l’outil qui débloque le calcul de presque toutes les dérivées du programme.

Définition de la composée

Définition : Composée de deux fonctions

Soient $u$ et $v$ deux fonctions. La **composée de $u$ suivie de $v$ **, notée $v \circ u$ (lire « $v$ rond $u$ »), est la fonction définie par :

(v \circ u)(x) = v\big(u(x)\big)

On applique $u$ d’abord, puis $v$ . Pour que $(v \circ u)(x)$ existe, il faut que $x$ soit dans l’ensemble de définition de $u$ , et que $u(x)$ soit dans celui de $v$ .

La composée fonctionne comme deux machines en série : x entre dans u, sa sortie u(x) entre dans v.

Remarque : l’ordre compte

En général, $v \circ u \neq u \circ v$ . Avec $u(x) = 2x + 1$ et $v(x) = x^2$ : $(v \circ u)(x) = (2x + 1)^2$ , alors que $(u \circ v)(x) = 2x^2 + 1$ . Ces deux fonctions sont bien différentes.

Composer et décomposer

L’enchaînement x, puis u(x), puis v(u(x)) : la flèche rouge est la composée directe v∘u.

Méthode : reconnaître une composée

Pour dériver ou étudier une fonction compliquée, on cherche la fonction intérieure $u$ (celle qu’on calcule en premier) et la fonction extérieure $v$ (celle qu’on applique ensuite). On demande : « par quoi je commence si je remplace $x$ par un nombre ? »

Exemple

La fonction $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ se décompose avec $u(x) = x^2 + 1$ (intérieure) et $v(X) = \sqrt{X}$ (extérieure) : $f = v \circ u$ .

La fonction $g(x) = (3x - 5)^4$ se décompose avec $u(x) = 3x - 5$ et $v(X) = X^4$ : $g = v \circ u$ .

Sens de variation d’une composée

Théorème : Variations d’une composée

Soit $u$ monotone sur un intervalle $I$ , et $v$ monotone sur un intervalle contenant toutes les valeurs $u(x)$ pour $x \in I$ . Alors $v \circ u$ est monotone sur $I$ , selon une règle des signes :

$u$ et $v$ de même sens de variation $\Rightarrow$ $v \circ u$ croissante.
$u$ et $v$ de sens contraires $\Rightarrow$ $v \circ u$ décroissante.

Sens de $u$	Sens de $v$	Sens de $v \circ u$
croissante	croissante	croissante
croissante	décroissante	décroissante
décroissante	croissante	décroissante
décroissante	décroissante	croissante

Exemple

Soit $f(x) = \sqrt{-x + 4}$ sur $\left]-\infty\,;\, 4\right]$ , avec $u(x) = -x + 4$ et $v(X) = \sqrt{X}$ . La fonction $u$ est décroissante (coefficient $-1$ ), la fonction racine $v$ est croissante. Sens contraires : $f$ est donc décroissante sur $\left]-\infty\,;\, 4\right]$ .

Limite d’une composée

Propriété : Limite d’une composée

Si $u(x) \to b$ quand $x \to a$ , et si $v(X) \to c$ quand $X \to b$ , alors $(v \circ u)(x) \to c$ quand $x \to a$ . Les valeurs $a$ , $b$ , $c$ peuvent être finies ou infinies.

Exemple

Cherchons $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(2 + \dfrac{1}{x}\right)^3$ . On pose $X = 2 + \dfrac{1}{x}$ . Quand $x \to +\infty$ , $X \to 2$ . Or $X^3 \to 2^3 = 8$ quand $X \to 2$ . Par composition, la limite est $8$ .

Dérivée d’une composée

Théorème : Dérivée de $v \circ u$

Si $u$ est dérivable en $x$ et $v$ dérivable en $u(x)$ , alors $v \circ u$ est dérivable en $x$ , et :

(v \circ u)'(x) = u'(x) \times v'\big(u(x)\big)

On dérive « de l’extérieur vers l’intérieur » : dérivée de la fonction extérieure prise en $u(x)$ , multipliée par la dérivée de la fonction intérieure.

Démonstration

Illustrons la formule sur le cas $v(X) = X^2$ , c’est-à-dire $(v \circ u)(x) = \big(u(x)\big)^2 = u(x) \times u(x)$ . On dérive ce produit avec la formule $(fg)' = f'g + fg'$ , ici avec $f = g = u$ :

\big(u^2\big)' = u' \times u + u \times u' = 2u \times u'

On retrouve bien la formule générale : la dérivée extérieure de $X \mapsto X^2$ est $2X$ , prise en $u$ elle donne $2u$ , multipliée par $u'$ . Le théorème général se démontre selon le même principe et est admis ici.

Exemple

Dérivons $g(x) = (3x^2 + 1)^4$ . On pose $u(x) = 3x^2 + 1$ , donc $u'(x) = 6x$ , et $v(X) = X^4$ , donc $v'(X) = 4X^3$ . La formule donne :

g'(x) = u'(x) \times v'\big(u(x)\big) = 6x \times 4(3x^2 + 1)^3 = 24x\,(3x^2 + 1)^3

Les dérivées composées usuelles

En appliquant la formule aux fonctions extérieures classiques, on obtient un formulaire à connaître. Dans tout le tableau, $u$ désigne une fonction dérivable.

Fonction	Dérivée	Condition
$u^n$ ( $n$ entier)	$n\,u'\,u^{\,n-1}$	aucune
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$	$u > 0$
$\dfrac{1}{u}$	$-\dfrac{u'}{u^2}$	$u \neq 0$
$e^{u}$	$u'\,e^{u}$	aucune

Exemple : racine et inverse

Pour $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ , on a $u = x^2 + 1$ et $u' = 2x$ , donc :

f'(x) = \frac{u'}{2\sqrt{u}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}

Pour $h(x) = \dfrac{1}{x^2 + 3}$ , on a $u = x^2 + 3$ et $u' = 2x$ , donc $h'(x) = -\dfrac{2x}{(x^2 + 3)^2}$ .

Le cas x ↦ g(ax + b)

Propriété : Dérivée de $x \mapsto g(ax + b)$

C’est une composée avec la fonction affine intérieure $u(x) = ax + b$ , dont la dérivée est la constante $a$ . La formule donne directement :

\big(g(ax + b)\big)' = a \times g'(ax + b)

Composer par une fonction affine translate la courbe : ici y = (x-2)² + 1 est la parabole y = x² décalée.

Exemple

Dérivons $f(x) = (2x - 3)^5$ . Ici $g(X) = X^5$ avec $g'(X) = 5X^4$ , et $a = 2$ . Donc $f'(x) = 2 \times 5(2x - 3)^4 = 10(2x - 3)^4$ .

Autre exemple : $\big(\cos(3x)\big)' = 3 \times \big(-\sin(3x)\big) = -3\sin(3x)$ , car la dérivée de $\cos$ est $-\sin$ et $a = 3$ .

Erreurs classiques à éviter

Confondre $v \circ u$ et $u \circ v$ .
L’ordre compte : $v \circ u$ applique $u$ puis $v$ . Avec $u = 2x+1$ et $v = x^2$ , $(v \circ u)(x) = (2x+1)^2 \neq 2x^2 + 1 = (u \circ v)(x)$ .
Oublier de multiplier par la dérivée intérieure $u'$ .
La dérivée de $(3x^2+1)^4$ n’est pas $4(3x^2+1)^3$ : il faut multiplier par $u' = 6x$ , ce qui donne $24x(3x^2+1)^3$ .
Écrire $(\sqrt{u})' = \dfrac{1}{2\sqrt{u}}$ .
Il manque le facteur $u'$ au numérateur : $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ .
Se tromper de règle des signes pour les variations.
Deux fonctions de sens contraires donnent une composée décroissante ; de même sens, croissante. On multiplie les sens comme des signes.
Oublier le facteur $a$ en dérivant $g(ax + b)$ .
$\big(g(ax+b)\big)' = a\,g'(ax+b)$ . Par exemple $\big(\cos(3x)\big)' = -3\sin(3x)$ , pas $-\sin(3x)$ .

Et maintenant

Le cours est lu ? Vérifie qu’il est acquis : le QCM repère les trous, les exercices confirment en conditions réelles, les flashcards ancrent les formules.

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