Partie 2 · Analyse · Chapitre 7

Les limites de fonctions

Asymptotes, opérations sur les limites.

Au chapitre précédent, on a étudié le comportement d’une suite pour les grands entiers $n$ . Ici, on fait de même pour une fonction, mais la variable $x$ peut se rapprocher de valeurs bien plus variées : $+\infty$ , $-\infty$ , ou un réel $a$ . Étudier une limite de fonction, c’est décrire vers quoi tendent les images $f(x)$ quand $x$ s’approche d’une de ces valeurs. À la clé : la notion d’asymptote, une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment.

Limite d’une fonction en l’infini

Définition : Limite finie en plus l’infini

La fonction $f$ a pour **limite $\ell$ en $+\infty$ ** lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On note :

\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell

Graphiquement, la courbe se rapproche autant qu’on veut de la droite horizontale d’équation $y = \ell$ : cette droite est une asymptote horizontale.

Quand x tend vers plus l’infini, la courbe se rapproche de la droite y = ℓ, son asymptote horizontale.

Définition : Limite infinie en plus l’infini

La fonction $f$ a pour **limite $+\infty$ en $+\infty$ ** lorsque tout intervalle $[A\,;\, +\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand : $f(x)$ dépasse tout seuil $A$ dès que $x$ est assez grand. On définit de même les limites $-\infty$ , et les limites en $-\infty$ .

Remarque

Toutes les fonctions n’ont pas de limite en $+\infty$ . Par exemple, $x \mapsto \cos(x)$ oscille sans fin entre $-1$ et $1$ : elle n’a pas de limite en $+\infty$ .

Limite infinie en un réel

Définition : Limite infinie en un point

Soit $a$ un réel. La fonction $f$ tend vers $+\infty$ **en $a$ ** lorsque $f(x)$ dépasse tout seuil dès que $x$ est assez proche de $a$ . On rencontre souvent des limites différentes à gauche et à droite de $a$ , notées :

\lim_{\substack{x \to a \\ x < a}} f(x) \qquad \text{et} \qquad \lim_{\substack{x \to a \\ x > a}} f(x)

Propriété : Asymptote verticale

Si $f$ admet une limite infinie ( $+\infty$ ou $-\infty$ ) en $a$ , à gauche ou à droite, alors la droite d’équation $x = a$ est asymptote verticale à la courbe de $f$ .

Près de x = a, la courbe s’envole vers plus l’infini d’un côté et vers moins l’infini de l’autre : x = a est asymptote verticale.

Exemple

La fonction $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ n’est pas définie en $2$ . Quand $x$ s’approche de $2$ par valeurs supérieures, $x - 2$ est un petit nombre positif, donc $\dfrac{1}{x-2} \to +\infty$ . Par valeurs inférieures, $x - 2$ est un petit nombre négatif, donc $\dfrac{1}{x-2} \to -\infty$ . La droite $x = 2$ est asymptote verticale.

\lim_{\substack{x \to 2 \\ x > 2}} \frac{1}{x-2} = +\infty \qquad \lim_{\substack{x \to 2 \\ x < 2}} \frac{1}{x-2} = -\infty

Les fonctions de référence

Comme pour les suites, quelques limites de base servent de point de départ à tous les calculs. La fonction inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ en est l’exemple type : ses deux asymptotes sont les axes.

La fonction inverse : l’axe des abscisses est asymptote horizontale, l’axe des ordonnées asymptote verticale.

Fonction	En $-\infty$	En $+\infty$	En $0$
$x^2$	$+\infty$	$+\infty$	$0$
$x^3$	$-\infty$	$+\infty$	$0$
$\sqrt{x}$	non définie	$+\infty$	$0$
$\dfrac{1}{x}$	$0$	$0$	$+\infty$ à droite, $-\infty$ à gauche
$\dfrac{1}{x^2}$	$0$	$0$	$+\infty$

Opérations sur les limites

Les règles sont exactement les mêmes que pour les suites : la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient se calcule à partir des limites des morceaux, sauf dans les quatre formes indéterminées $\infty - \infty$ , $\ 0 \times \infty$ , $\ \dfrac{\infty}{\infty}$ et $\dfrac{0}{0}$ .

Propriété : Limite d’une somme et d’un produit

Si $\lim f = \ell$ et $\lim g = \ell'$ (en une même valeur), alors $\lim (f + g) = \ell + \ell'$ et $\lim (f \times g) = \ell \times \ell'$ . Avec des infinis, on prolonge par les règles naturelles et la règle des signes, hors formes indéterminées.

Propriété : Limite d’un quotient

« Diviser par un infini donne $0$ » ; « diviser un nombre non nul par une quantité qui tend vers $0$ en gardant un signe fixe donne l’infini ». Les cas $\dfrac{\infty}{\infty}$ et $\dfrac{0}{0}$ sont indéterminés.

Lever une forme indéterminée

Méthode : les deux réflexes

Polynôme ou quotient de polynômes : on factorise par le terme de plus haut degré, en haut et en bas, puis on simplifie.
**Différence avec une racine ( $\sqrt{\ } - \$ ) : on multiplie et divise par la quantité conjuguée** pour faire disparaître la racine du numérateur.

Exemple : quotient de polynômes

Cherchons $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 + 1}{x^2 - 5}$ . Numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ . On factorise par $x^2$ :

\frac{3x^2 + 1}{x^2 - 5} = \frac{x^2\left(3 + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 - \frac{5}{x^2}\right)} = \frac{3 + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{5}{x^2}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{3}{1} = 3

La droite $y = 3$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ .

Exemple : avec une racine, par la quantité conjuguée

Cherchons $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$ . Les deux termes tendent vers $+\infty$ : forme $\infty - \infty$ . On multiplie par la quantité conjuguée $\sqrt{x^2 + x} + x$ :

\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{\left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)\left(\sqrt{x^2 + x} + x\right)}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x}

On factorise alors par $x$ (avec $x > 0$ , donc $\sqrt{x^2} = x$ ) : $\dfrac{x}{x\left(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1\right)} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1}$ . Quand $x \to +\infty$ , $\frac{1}{x} \to 0$ , donc la limite vaut :

\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right) = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2}

Comparaison et théorème des gendarmes

Théorème : Comparaison

Soit $a$ un réel ou $\pm\infty$ . Si $f(x) \geqslant g(x)$ au voisinage de $a$ et $\lim\limits_{x \to a} g(x) = +\infty$ , alors $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ . De même avec $\leqslant$ et $-\infty$ .

Théorème : Théorème des gendarmes

Si $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ au voisinage de $a$ , et si $g$ et $h$ ont la même limite finie $\ell$ en $a$ , alors $f$ a aussi pour limite $\ell$ en $a$ .

La courbe de f est encadrée par celles de g et h. Comme g et h tendent vers ℓ, f y est contrainte aussi.

Exemple

Cherchons $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin(x)}{x}$ . Le sinus est borné : $-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$ . En divisant par $x > 0$ :

-\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin(x)}{x} \leqslant \frac{1}{x}

Les deux bornes tendent vers $0$ en $+\infty$ . Par le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sin(x)}{x} = 0$ .

Limite d’une fonction composée

Théorème : Limite d’une composée

Soient $a$ , $b$ , $c$ des réels ou $\pm\infty$ . Si $\lim\limits_{x \to a} u(x) = b$ et $\lim\limits_{X \to b} v(X) = c$ , alors la composée $v \circ u$ vérifie :

\lim_{x \to a} v\big(u(x)\big) = c

En pratique, on pose $X = u(x)$ , on détermine la limite $b$ de $X$ , puis la limite de $v(X)$ quand $X \to b$ .

Exemple

Cherchons $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \dfrac{1}{x}}$ . On pose $X = 1 + \dfrac{1}{x}$ . Quand $x \to +\infty$ , $\dfrac{1}{x} \to 0$ , donc $X \to 1$ . Or $\sqrt{X} \to \sqrt{1} = 1$ quand $X \to 1$ . Par composition :

\lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x}} = 1

Erreurs classiques à éviter

Croire que toute fonction a une limite en $+\infty$ .
Faux : $\cos(x)$ et $\sin(x)$ oscillent sans limite en $+\infty$ . L’existence d’une limite n’a rien d’automatique.
Confondre asymptote horizontale et verticale.
Une limite **finie en $\pm\infty$ donne une asymptote horizontale** ( $y = \ell$ ). Une limite **infinie en un réel $a$ donne une asymptote verticale** ( $x = a$ ).
Conclure directement sur une forme indéterminée.
$\frac{\infty}{\infty}$ ou $\infty - \infty$ ne se calculent pas telles quelles : il faut d’abord factoriser par le terme dominant, ou utiliser la quantité conjuguée s’il y a une racine.
Oublier de distinguer la gauche et la droite en un point.
Pour $\frac{1}{x-2}$ en $2$ , la limite est $+\infty$ à droite mais $-\infty$ à gauche. Le signe du dénominateur change : il faut examiner les deux côtés.
Utiliser un seul encadrant avec le théorème des gendarmes.
Pour une limite finie, il faut encadrer $f$ des deux côtés par deux fonctions de même limite. Un seul côté relève de la comparaison, et ne conclut que pour une limite infinie.

Et maintenant

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