Partie 2 · Analyse · Chapitre 6

Les limites de suites

Théorème des gendarmes, opérations sur les limites.

Une suite $(u_n)$ associe à chaque entier $n$ un nombre $u_n$ . La question de ce chapitre est simple à poser : quand $n$ devient très grand, vers quoi se rapprochent les termes $u_n$ ? Trois comportements sont possibles. Les termes peuvent se stabiliser autour d’une valeur, on dit alors que la suite converge ; ils peuvent filer vers l’infini ; ou n’avoir aucun comportement régulier. Étudier la limite d’une suite, c’est décrire précisément ce qui se passe pour les grandes valeurs de $n$ .

Limite finie : la convergence

Définition : Limite finie

Soit $\ell$ un réel. La suite $(u_n)$ **converge vers $\ell$ , ou admet pour limite $\ell$ **, lorsque tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note alors :

\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell

Autrement dit, aussi petite que soit la « fenêtre » que l’on ouvre autour de $\ell$ , les termes de la suite finissent par y entrer et ne plus en ressortir. Sur la figure, les points $u_n$ se resserrent autour de la droite d’ordonnée $\ell$ .

Les termes de la suite se rapprochent de la valeur limite ℓ, tracée en rouge, sans plus s’en écarter durablement.

Définition : Suite convergente, suite divergente

Une suite qui admet une limite finie est dite convergente. Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente. C’est le cas d’une suite qui tend vers l’infini, mais aussi d’une suite qui oscille sans se stabiliser.

Propriété : Unicité de la limite

Si une suite converge, alors sa limite est unique. On peut donc parler de « la » limite de la suite, et écrire $\lim u_n = \ell$ sans ambiguïté.

Remarque

La convergence ne dépend que du comportement pour les grands $n$ : changer les premiers termes d’une suite ne change ni le fait qu’elle converge, ni la valeur de sa limite. C’est le sens de « à partir d’un certain rang ».

Limite infinie

Définition : Limite égale à plus l’infini

La suite $(u_n)$ **tend vers $+\infty$ ** lorsque tout intervalle de la forme $[A\,;\, +\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Autrement dit, aussi grand que soit le réel $A$ choisi, on a $u_n \geqslant A$ pour tout $n$ assez grand. On note :

\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty

Définition : Limite égale à moins l’infini

De même, $(u_n)$ **tend vers $-\infty$ ** lorsque tout intervalle $\left]-\infty\,;\, A\right]$ contient tous les termes à partir d’un certain rang : $u_n \leqslant A$ pour tout $n$ assez grand, quel que soit $A$ .

Une suite qui tend vers plus l’infini : ses termes dépassent tout seuil A fixé à l’avance.

Remarque : tendre vers l’infini n’est pas la seule façon de diverger

Une suite qui tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ est divergente, mais l’inverse est faux. La suite définie par $u_n = (-1)^n$ prend alternativement les valeurs $1$ et $-1$ : elle ne se rapproche d’aucune valeur, et ne tend pas non plus vers l’infini. Elle est divergente sans avoir de limite infinie.

Les suites de référence

Quelques limites reviennent constamment et doivent être connues par cœur. Elles servent de briques de base à tous les calculs de limites.

Propriété : Limites usuelles

Les puissances et la racine carrée tendent vers $+\infty$ :

\lim_{n \to +\infty} n = \lim_{n \to +\infty} n^2 = \lim_{n \to +\infty} n^3 = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty

Leurs inverses tendent vers $0$ :

\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0

Démonstration

Montrons que $\lim \frac{1}{n} = 0$ . Soit un intervalle ouvert $\left]-r\,;\, r\right[$ autour de $0$ , avec $r > 0$ . On cherche à partir de quel rang $\frac{1}{n}$ y entre. Pour $n \geqslant 1$ , on a $\frac{1}{n} > 0$ , et :

\frac{1}{n} < r \iff n > \frac{1}{r}

Il suffit donc de prendre $n$ strictement supérieur à $\frac{1}{r}$ : pour tous ces rangs, $0 < \frac{1}{n} < r$ , donc $\frac{1}{n}$ appartient à l’intervalle. Tout intervalle ouvert autour de $0$ contient les termes à partir d’un certain rang : la suite converge vers $0$ .

Limite d’une suite géométrique

Une suite géométrique de raison $q$ a pour terme général une puissance $q^n$ (à un facteur près). Son comportement dépend entièrement de la valeur de $q$ .

Théorème : Limite de la suite de terme général $q^n$

Selon la valeur du réel $q$ :

Si $q > 1$ , alors $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ .
Si $q = 1$ , alors $q^n = 1$ pour tout $n$ , donc $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 1$ .
Si $-1 < q < 1$ , alors $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0$ .
Si $q \leqslant -1$ , la suite $(q^n)$ n’a pas de limite : elle diverge en oscillant.

Propriété : Inégalité de Bernoulli

Pour tout réel $a \geqslant 0$ et tout entier $n \geqslant 0$ :

(1 + a)^n \geqslant 1 + na

Démonstration

Démontrons l’inégalité de Bernoulli par récurrence sur $n$ , à $a \geqslant 0$ fixé.

Initialisation. Pour $n = 0$ : $(1 + a)^0 = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$ . L’inégalité $1 \geqslant 1$ est vraie.

Hérédité. Supposons $(1 + a)^n \geqslant 1 + na$ pour un certain rang $n$ . Comme $1 + a > 0$ , on peut multiplier les deux membres par $1 + a$ sans changer le sens :

(1 + a)^{n+1} \geqslant (1 + na)(1 + a) = 1 + (n+1)a + na^2

Or $na^2 \geqslant 0$ , donc $1 + (n+1)a + na^2 \geqslant 1 + (n+1)a$ . On en déduit $(1 + a)^{n+1} \geqslant 1 + (n+1)a$ : la propriété est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier $n \geqslant 0$ .

Démonstrationexigible au bac

Démontrons que si $q > 1$ , alors $\lim q^n = +\infty$ . Puisque $q > 1$ , on peut écrire $q = 1 + a$ avec $a = q - 1 > 0$ . L’inégalité de Bernoulli donne, pour tout $n$ :

q^n = (1 + a)^n \geqslant 1 + na

Comme $a > 0$ , la suite de terme général $1 + na$ tend vers $+\infty$ . Or $q^n \geqslant 1 + na$ : par comparaison (voir plus bas), $q^n$ tend aussi vers $+\infty$ .

Exemple

La suite $u_n = 2^n$ a une raison $q = 2 > 1$ , donc $\lim 2^n = +\infty$ . La suite $v_n = \left(\tfrac{1}{3}\right)^n$ a une raison $q = \tfrac{1}{3}$ , avec $-1 < \tfrac{1}{3} < 1$ , donc $\lim v_n = 0$ . La suite $w_n = (-2)^n$ a une raison $q = -2 \leqslant -1$ : elle diverge en oscillant, sans limite.

Opérations sur les limites

Pour calculer la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient, on combine les limites des morceaux. Dans la plupart des cas le résultat est immédiat, mais quatre configurations échappent aux règles : ce sont les formes indéterminées.

Propriété : Limite d’une somme

Si $\lim u_n = \ell$ et $\lim v_n = \ell'$ (finis), alors $\lim (u_n + v_n) = \ell + \ell'$ . Avec des limites infinies :

$\lim u_n$	$\lim v_n$	$\lim (u_n + v_n)$
$\ell$	$+\infty$	$+\infty$
$\ell$	$-\infty$	$-\infty$
$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$+\infty$	$-\infty$	forme indéterminée

Propriété : Limite d’un produit

Si $\lim u_n = \ell$ et $\lim v_n = \ell'$ (finis), alors $\lim (u_n \times v_n) = \ell \times \ell'$ . Avec des infinis, on applique la règle des signes ; le seul cas problématique est le produit d’un zéro par un infini :

$\lim u_n$	$\lim v_n$	$\lim (u_n \times v_n)$
$\ell > 0$	$+\infty$	$+\infty$
$\ell < 0$	$+\infty$	$-\infty$
$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$
$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
$0$	$\pm\infty$	forme indéterminée

Propriété : Limite d’un quotient

Pour un quotient $\dfrac{u_n}{v_n}$ , on retient surtout deux repères : « diviser par un infini donne $0$ », et « diviser par un nombre qui tend vers $0$ en gardant un signe fixe donne l’infini ». Les cas indéterminés sont $\dfrac{\infty}{\infty}$ et $\dfrac{0}{0}$ :

$\lim u_n$	$\lim v_n$	$\lim \dfrac{u_n}{v_n}$
$\ell$	$\pm\infty$	$0$
$\pm\infty$	$\ell \neq 0$	$\pm\infty$ (règle des signes)
$\ell \neq 0$	$0^+$	$\pm\infty$ (règle des signes)
$\pm\infty$	$\pm\infty$	forme indéterminée
$0$	$0$	forme indéterminée

Méthode : lever une forme indéterminée

Devant une forme indéterminée, on ne conclut jamais directement. Pour un polynôme ou un quotient de polynômes, la technique de base est de factoriser par le terme de plus haut degré, puis de simplifier.

Exemple : forme « ∞ − ∞ »

Cherchons $\lim (n^2 - n)$ . Les deux termes tendent vers $+\infty$ : c’est une forme indéterminée $\infty - \infty$ . On factorise par $n^2$ :

n^2 - n = n^2\left(1 - \frac{1}{n}\right)

Quand $n \to +\infty$ : $n^2 \to +\infty$ et $1 - \frac{1}{n} \to 1$ . Le produit tend vers $+\infty$ , donc $\lim (n^2 - n) = +\infty$ .

Exemple : forme « ∞ / ∞ »

Cherchons $\lim \dfrac{2n^2 + 3}{n^2 + 1}$ . Numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : forme indéterminée. On factorise haut et bas par $n^2$ :

\frac{2n^2 + 3}{n^2 + 1} = \frac{n^2\left(2 + \frac{3}{n^2}\right)}{n^2\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)} = \frac{2 + \frac{3}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}}

Les termes $\frac{3}{n^2}$ et $\frac{1}{n^2}$ tendent vers $0$ . La limite vaut donc $\dfrac{2 + 0}{1 + 0} = 2$ .

Théorème de comparaison

Théorème : Comparaison

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $u_n \geqslant v_n$ à partir d’un certain rang.

Si $\lim v_n = +\infty$ , alors $\lim u_n = +\infty$ .
Si $\lim u_n = -\infty$ , alors $\lim v_n = -\infty$ .

Autrement dit, une suite plus grande qu’une suite qui explose vers $+\infty$ explose aussi ; une suite plus petite qu’une suite qui s’effondre vers $-\infty$ s’effondre aussi.

Exemple

Cherchons $\lim \big(n + \sin(n)\big)$ . Pour tout $n$ , on a $\sin(n) \geqslant -1$ , donc :

n + \sin(n) \geqslant n - 1

Or $\lim (n - 1) = +\infty$ . Par comparaison, $\lim \big(n + \sin(n)\big) = +\infty$ .

Le théorème des gendarmes

Théorème : Théorème des gendarmes (encadrement)

Soient $(u_n)$ , $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ à partir d’un certain rang. Si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite finie $\ell$ , alors $(u_n)$ converge aussi, et :

\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell

L’image est parlante : deux « gendarmes » $v_n$ et $w_n$ encadrent le « prisonnier » $u_n$ . S’ils se dirigent tous les deux vers le même point $\ell$ , le prisonnier, coincé entre eux, ne peut aller nulle part ailleurs.

La suite u_n (en rouge) est encadrée par v_n et w_n. Comme les deux gendarmes convergent vers ℓ, u_n y converge aussi.

Méthode : utiliser l’encadrement

On l’emploie surtout quand une expression contient un terme borné, comme $\sin(n)$ ou $(-1)^n$ , dont on ne connaît pas la limite. On encadre ce terme entre deux constantes, puis on divise ou multiplie l’encadrement par le reste.

Exemple

Cherchons $\lim \dfrac{\cos(n)}{n}$ . Le numérateur $\cos(n)$ n’a pas de limite, mais il est borné : pour tout $n$ , $-1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1$ . En divisant par $n > 0$ :

-\frac{1}{n} \leqslant \frac{\cos(n)}{n} \leqslant \frac{1}{n}

Les deux gendarmes $-\frac{1}{n}$ et $\frac{1}{n}$ tendent vers $0$ . Par le théorème des gendarmes, $\lim \dfrac{\cos(n)}{n} = 0$ .

Suites monotones et convergence

Théorème : Convergence des suites monotones

Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.

Remarque : ce que le théorème dit, et ce qu’il ne dit pas

Ce théorème garantit l’existence d’une limite, mais ne la donne pas. Si une suite croissante est majorée par $M$ , elle converge vers une limite $\ell$ , et l’on sait seulement que $\ell \leqslant M$ . La valeur de $\ell$ n’est pas forcément $M$ , et se détermine par d’autres moyens.

Une suite croissante majorée par M : elle monte sans jamais dépasser M, et converge vers une limite ℓ inférieure ou égale à M.

Propriété : Suite croissante non majorée

Toute suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$ . De même, toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$ .

Démonstrationexigible au bac

Soit $(u_n)$ une suite croissante et non majorée. Montrons qu’elle tend vers $+\infty$ . Fixons un réel $A$ quelconque. Comme la suite n’est pas majorée, $A$ n’est pas un majorant : il existe donc un rang $N$ tel que :

u_N > A

Or la suite est croissante : pour tout $n \geqslant N$ , on a $u_n \geqslant u_N > A$ . L’intervalle $\left]A\,;\, +\infty\right[$ contient donc tous les termes à partir du rang $N$ . Comme ce raisonnement vaut pour tout réel $A$ , la suite tend vers $+\infty$ .

Exemple

La suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = u_n + \sqrt{n+1}$ est croissante (on ajoute à chaque étape un terme positif). On peut montrer qu’elle n’est pas majorée : elle tend donc vers $+\infty$ .

Erreurs classiques à éviter

Confondre « diverger » et « tendre vers l’infini ».
Tendre vers $\pm\infty$ est un cas de divergence, mais pas le seul. La suite $(-1)^n$ diverge sans tendre vers l’infini : elle oscille entre $-1$ et $1$ .
Croire qu’une suite majorée converge.
Il faut aussi qu’elle soit croissante. La suite $(-1)^n$ est bornée (donc majorée) mais ne converge pas. C’est la monotonie jointe à la borne qui assure la convergence.
Conclure directement sur une forme indéterminée.
$\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac{0}{0}$ ne se calculent pas telles quelles. Il faut d’abord transformer l’expression, en général en factorisant par le terme dominant.
Se tromper de cas pour $q^n$ quand $-1 < q < 1$ .
Pour une raison entre $-1$ et $1$ (par exemple $0{,}5$ ou $-0{,}3$ ), la puissance $q^n$ tend vers $0$ , pas vers l’infini. L’infini n’apparaît que pour $q > 1$ .
Appliquer les gendarmes avec un seul encadrant.
Pour une limite finie, il faut encadrer des deux côtés par deux suites de même limite. Une seule inégalité relève du théorème de comparaison, et ne sert que pour une limite infinie.
Écrire que la limite est strictement inférieure au majorant.
Si $u_n < M$ pour tout $n$ , on obtient seulement $\ell \leqslant M$ à la limite, avec une inégalité large. Le passage à la limite peut transformer une inégalité stricte en égalité.

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