Partie 1 · Algèbre et géométrie · Chapitre 5

L’équation cartésienne d’un plan

Vecteur normal, positions relatives de droites et de plans.

Une droite se décrit par une représentation paramétrique (chapitre 4). Un plan, lui, se décrit par une équation cartésienne : une seule équation du premier degré liant $x$ , $y$ et $z$ . Toute la clé tient dans un objet vu au chapitre 3, le vecteur normal. Ce chapitre relie les deux et donne les outils pour intersecter droites et plans.

Un point et un vecteur normal déterminent un plan

On travaille dans un repère orthonormé $(O\,;\, \vec{i}\,;\, \vec{j}\,;\, \vec{k})$ : c’est indispensable, car on va utiliser le produit scalaire en coordonnées.

Définition : Vecteur normal

Un vecteur $\vec{n}$ non nul est normal à un plan $\mathcal{P}$ lorsqu’il est orthogonal à tout vecteur directeur de $\mathcal{P}$ .

Propriété : Caractérisation d’un plan par un point et un vecteur normal

Soient $A$ un point et $\vec{n}$ un vecteur non nul. Il existe un unique plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ . C’est l’ensemble des points $M$ tels que :

\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0

Le point M appartient au plan lorsque le vecteur AM est orthogonal au vecteur normal n.

L’équation cartésienne d’un plan

Théorème : Équation cartésienne

Dans un repère orthonormé, tout plan de vecteur normal $\vec{n}(a\,;\, b\,;\, c)$ admet une équation de la forme :

ax + by + cz + d = 0

où $d$ est un réel. Réciproquement, si $(a\,;\, b\,;\, c) \neq (0\,;\, 0\,;\, 0)$ , l’ensemble des points $M(x\,;\, y\,;\, z)$ vérifiant $ax + by + cz + d = 0$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a\,;\, b\,;\, c)$ .

Démonstration

Soit $A(x_A\,;\, y_A\,;\, z_A)$ un point du plan et $\vec{n}(a\,;\, b\,;\, c)$ un vecteur normal. Un point $M(x\,;\, y\,;\, z)$ appartient au plan si et seulement si $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$ . Or $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $(x - x_A\,;\, y - y_A\,;\, z - z_A)$ , donc, le repère étant orthonormé :

\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0

On développe : $ax + by + cz - (a x_A + b y_A + c z_A) = 0$ . En posant $d = -(a x_A + b y_A + c z_A)$ , on obtient bien $ax + by + cz + d = 0$ .

Propriété : Lecture du vecteur normal

Sur une équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ , un vecteur normal du plan se lit directement sur les coefficients de $x$ , $y$ et $z$ :

\vec{n}(a\,;\, b\,;\, c)

Le terme constant $d$ n’intervient pas dans le vecteur normal : il ne fait que positionner le plan dans l’espace.

Remarque : une équation parmi une infinité

Multiplier une équation par un réel non nul donne la même plan : $2x - y + 3z - 4 = 0$ et $4x - 2y + 6z - 8 = 0$ décrivent le même plan. Il n’y a donc pas « l’ » équation d’un plan, mais « une » équation.

Déterminer une équation cartésienne

Méthode : à partir d’un point et d’un vecteur normal

Reporter les coordonnées du vecteur normal $\vec{n}(a\,;\, b\,;\, c)$ comme coefficients : l’équation est $ax + by + cz + d = 0$ .
Déterminer $d$ en écrivant que le point connu $A$ appartient au plan : on remplace $x$ , $y$ , $z$ par les coordonnées de $A$ et on résout.

Exemple : écrire une équation cartésienne

Cherchons une équation du plan $\mathcal{P}$ passant par $A(1\,;\, -2\,;\, 3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(2\,;\, 1\,;\, -1)$ . Les coefficients viennent de $\vec{n}$ :

2x + y - z + d = 0

On écrit que $A$ appartient au plan, en remplaçant $x$ , $y$ , $z$ par $1$ , $-2$ , $3$ :

2 \times 1 + (-2) - 3 + d = 0 \iff -3 + d = 0 \iff d = 3

Une équation de $\mathcal{P}$ est donc $2x + y - z + 3 = 0$ .

Vecteur normal et appartenance d’un point

Méthode : un point est-il sur le plan ?

Pour savoir si un point $M(x_0\,;\, y_0\,;\, z_0)$ appartient au plan d’équation $ax + by + cz + d = 0$ , on remplace $x$ , $y$ , $z$ par $x_0$ , $y_0$ , $z_0$ . Si l’égalité est vérifiée (le résultat vaut $0$ ), le point est sur le plan ; sinon, il ne l’est pas.

Exemple

Soit le plan $\mathcal{P}$ : $2x + y - z + 3 = 0$ . Le point $B(0\,;\, 1\,;\, 4)$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ? On remplace : $2 \times 0 + 1 - 4 + 3 = 0$ . L’égalité est vérifiée, donc ** $B$ appartient à $\mathcal{P}$ **.

Le point $C(1\,;\, 1\,;\, 1)$ ? On remplace : $2 + 1 - 1 + 3 = 5 \neq 0$ . ** $C$ n’appartient pas à $\mathcal{P}$ **.

Remarque : plans parallèles aux plans de coordonnées

Certaines équations sont très simples. $z = 5$ (soit $0x + 0y + z - 5 = 0$ ) est le plan horizontal de vecteur normal $\vec{k}(0\,;\, 0\,;\, 1)$ , parallèle au plan $(xOy)$ . De même, $x = 2$ a pour vecteur normal $\vec{i}$ , et $y = -1$ a pour vecteur normal $\vec{j}$ .

Équation d’un plan défini par trois points

Méthode : trois points non alignés

Si le plan est donné par trois points $A$ , $B$ , $C$ non alignés, on procède en trois temps :

Calculer deux vecteurs directeurs, par exemple $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
Chercher un vecteur normal $\vec{n}(a\,;\, b\,;\, c)$ orthogonal aux deux : on résout le système $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ .
Écrire $ax + by + cz + d = 0$ , puis déterminer $d$ avec l’un des trois points.

Exemple : un plan par trois points, pas à pas

Cherchons une équation du plan $(ABC)$ avec $A(1\,;\, 0\,;\, 0)$ , $B(0\,;\, 2\,;\, 0)$ et $C(0\,;\, 0\,;\, 3)$ .

Étape 1, deux vecteurs directeurs : $\overrightarrow{AB}(-1\,;\, 2\,;\, 0)$ et $\overrightarrow{AC}(-1\,;\, 0\,;\, 3)$ .

Étape 2, un vecteur normal $\vec{n}(a\,;\, b\,;\, c)$ orthogonal aux deux :

\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = -a + 2b = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = -a + 3c = 0 \end{cases} \implies a = 2b \ \text{ et } \ a = 3c

On choisit une valeur commode. En prenant $a = 6$ , on obtient $b = 3$ et $c = 2$ , soit $\vec{n}(6\,;\, 3\,;\, 2)$ .

Étape 3, l’équation $6x + 3y + 2z + d = 0$ , avec $A(1\,;\, 0\,;\, 0)$ : $6 + d = 0$ , donc $d = -6$ . Une équation de $(ABC)$ est :

6x + 3y + 2z - 6 = 0

Vérification avec $C(0\,;\, 0\,;\, 3)$ : $2 \times 3 - 6 = 0$ . Correct.

Intersection d’une droite et d’un plan

Propriété : Parallélisme d’une droite et d’un plan

Une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ est parallèle à un plan de vecteur normal $\vec{n}$ si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux :

\vec{u} \cdot \vec{n} = 0

Dans ce cas, la droite est incluse dans le plan si l’un de ses points appartient au plan, strictement parallèle sinon. Si $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$ , la droite perce le plan en un unique point.

Quand elle n’est pas parallèle au plan, la droite le perce en un seul point I.

Méthode : trouver le point d’intersection

On dispose d’une représentation paramétrique de la droite et d’une équation cartésienne du plan. On substitue les expressions de $x$ , $y$ , $z$ de la droite dans l’équation du plan, ce qui donne une équation en $t$ . On la résout, puis on reporte la valeur de $t$ trouvée dans la représentation paramétrique pour obtenir le point.

Exemple : percer un plan

Soit la droite $d$ : $x = 1 + t$ , $y = 2t$ , $z = 3 - t$ , et le plan $\mathcal{P}$ : $x + y + z - 6 = 0$ . Cherchons leur point d’intersection.

On vérifie d’abord qu’il y a bien intersection : $\vec{u}(1\,;\, 2\,;\, -1)$ et $\vec{n}(1\,;\, 1\,;\, 1)$ donnent $\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 + 2 - 1 = 2 \neq 0$ . La droite n’est pas parallèle au plan : elle le perce.

On substitue $x$ , $y$ , $z$ de la droite dans l’équation du plan :

(1 + t) + (2t) + (3 - t) - 6 = 0 \iff 2t - 2 = 0 \iff t = 1

On reporte $t = 1$ dans la représentation de $d$ : $x = 2$ , $y = 2$ , $z = 2$ . Le point d’intersection est $I(2\,;\, 2\,;\, 2)$ .

Positions relatives

Propriété : Deux plans

Deux plans de vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont parallèles si et seulement si $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont colinéaires : confondus s’ils ont un point commun, strictement parallèles sinon. Si les normaux ne sont pas colinéaires, les plans sont sécants, et leur intersection est une droite.

Deux plans sont soit parallèles, soit sécants selon une droite. Jamais un point isolé.

Objets	Test	Conclusion
Droite et plan	$\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ ?	Si oui : parallèles (incluse si un point commun). Si non : sécants en un point.
Deux plans	$\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ colinéaires ?	Si oui : parallèles (confondus si un point commun). Si non : sécants selon une droite.

Remarque

Deux plans ne se coupent jamais en un seul point. Soit ils sont parallèles, soit leur intersection est une droite entière. La chercher revient à résoudre le système de leurs deux équations.

Distance d’un point à un plan

La distance d’un point $M$ à un plan $\mathcal{P}$ est la plus courte distance de $M$ à un point du plan : c’est la longueur $MH$ , où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$ (chapitre 3). En repère orthonormé, elle se calcule directement.

Propriété : Formule de la distance

Dans un repère orthonormé, la distance du point $M(x_0\,;\, y_0\,;\, z_0)$ au plan $\mathcal{P}$ d’équation $ax + by + cz + d = 0$ est :

\text{dist}(M, \mathcal{P}) = \frac{\lvert a x_0 + b y_0 + c z_0 + d \rvert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Exemple

Distance du point $M(1\,;\, 2\,;\, 2)$ au plan $\mathcal{P}$ : $2x - y + 2z + 1 = 0$ . On calcule le numérateur $\lvert 2 \times 1 - 2 + 2 \times 2 + 1 \rvert = \lvert 5 \rvert = 5$ , et le dénominateur $\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$ . La distance vaut donc $\frac{5}{3}$ .

Remarque

Un point appartient au plan si et seulement si sa distance au plan est nulle, c’est-à-dire si le numérateur $a x_0 + b y_0 + c z_0 + d$ est nul : on retrouve le test d’appartenance.

Erreurs classiques à éviter

Confondre équation cartésienne et représentation paramétrique.
Une équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ décrit un plan. Une représentation paramétrique (un système avec un paramètre) décrit une droite.
Lire le vecteur normal en incluant le terme constant $d$ .
Le vecteur normal se lit sur les coefficients de $x$ , $y$ , $z$ : $\vec{n}(a\,;\, b\,;\, c)$ . Le terme $d$ ne fait que positionner le plan.
Penser qu’un plan a une seule équation cartésienne.
On peut multiplier l’équation par tout réel non nul : $x - y + z = 0$ et $3x - 3y + 3z = 0$ décrivent le même plan.
Chercher l’intersection droite-plan sans substituer.
On remplace $x$ , $y$ , $z$ de la droite dans l’équation du plan, on résout en $t$ , puis on reporte $t$ pour obtenir le point.
Croire qu’une droite orthogonale au vecteur normal coupe le plan.
C’est l’inverse : $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$ signifie que la droite est parallèle au plan. Elle le coupe quand $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$ .
Penser que deux plans peuvent se couper en un seul point.
Impossible : deux plans sont soit parallèles, soit sécants selon une droite entière.
Oublier la valeur absolue dans la formule de distance.
Une distance est positive : la formule contient $\lvert a x_0 + b y_0 + c z_0 + d \rvert$ au numérateur.

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