Partie 1 · Algèbre et géométrie · Chapitre 4

La représentation paramétrique d’une droite

Point, vecteur directeur, paramètre.

Dans le plan, une droite se décrit par une équation du type $y = mx + p$ . Dans l’espace, cette écriture ne suffit plus : il faut trois coordonnées. La bonne idée est de décrire une droite non pas par une équation, mais par un point de départ et une direction, puis de faire glisser un point le long de cette direction. C’est la représentation paramétrique. Elle s’appuie entièrement sur le calcul vectoriel du chapitre 2.

Rappel : une droite, un point et une direction

On travaille dans un repère $(O\,;\, \vec{i}\,;\, \vec{j}\,;\, \vec{k})$ de l’espace. Une droite est entièrement déterminée par un de ses points et une direction, donnée par un vecteur directeur.

Théorème : Caractérisation vectorielle d’une droite

Soient $A$ un point et $\vec{u}$ un vecteur non nul. La droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ soient colinéaires :

M \in d \iff \exists\, t \in \mathbb{R}, \quad \overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}

Le réel $t$ est le paramètre. À chaque valeur de $t$ correspond un point de la droite, et un seul. C’est cette égalité vectorielle que l’on va traduire en coordonnées.

Le point M glisse le long de la droite : à chaque valeur du paramètre t, une position. Pour t = 0, on retrouve A.

La représentation paramétrique

Définition : Représentation paramétrique d’une droite

Soit $d$ la droite passant par $A(x_A\,;\, y_A\,;\, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a\,;\, b\,;\, c)$ . Un point $M(x\,;\, y\,;\, z)$ appartient à $d$ si et seulement s’il existe un réel $t$ tel que :

\begin{cases} x = x_A + t\,a \\ y = y_A + t\,b \\ z = z_A + t\,c \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}

Ce système est appelé une représentation paramétrique de la droite $d$ . Le réel $t$ est le paramètre.

Démonstration

On part de la caractérisation vectorielle : $M \in d \iff \overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$ pour un certain réel $t$ . Le vecteur $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $(x - x_A\,;\, y - y_A\,;\, z - z_A)$ , et $t\,\vec{u}$ a pour coordonnées $(t a\,;\, t b\,;\, t c)$ .

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales une à une. L’égalité $\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}$ équivaut donc au système $x - x_A = ta$ , $y - y_A = tb$ , $z - z_A = tc$ , c’est-à-dire au système annoncé.

Exemple : écrire une représentation paramétrique

La droite $d$ passe par $A(1\,;\, -2\,;\, 4)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(3\,;\, 1\,;\, -2)$ . On reporte les coordonnées de $A$ comme termes constants et celles de $\vec{u}$ comme coefficients de $t$ :

\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -2 + t \\ z = 4 - 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}

Pour $t = 0$ , on retrouve $A(1\,;\, -2\,;\, 4)$ . Pour $t = 1$ , on obtient le point $B(4\,;\, -1\,;\, 2)$ , également sur $d$ .

Remarque : une représentation parmi une infinité

Une même droite admet une infinité de représentations paramétriques : on peut changer de point de départ (n’importe quel point de la droite convient) et de vecteur directeur (n’importe quel vecteur non nul colinéaire à $\vec{u}$ ). Il n’y a donc pas « la » représentation, mais « une » représentation.

Le rôle du paramètre

Le paramètre $t$ est une sorte de « curseur » : quand il varie dans $\mathbb{R}$ , le point $M$ parcourt toute la droite. Quelques valeurs remarquables :

Propriété

Pour $t = 0$ , le système donne le point $A$ : le point de départ correspond toujours au paramètre nul.
Pour $t = 1$ , on obtient le point $A + \vec{u}$ , c’est-à-dire l’extrémité du vecteur directeur placé en $A$ .
Deux valeurs différentes de $t$ donnent deux points différents de la droite.
Faire varier $t$ dans $\mathbb{R}$ tout entier décrit la droite entière ; le restreindre à un intervalle décrirait un segment ou une demi-droite.

Exemple : placer des points avec le paramètre

Reprenons $d$ : $x = 1 + 3t$ , $y = -2 + t$ , $z = 4 - 2t$ . En donnant successivement à $t$ les valeurs $-1$ , $0$ et $2$ , on obtient trois points de la droite :

t = -1 : (-2\,;\, -3\,;\, 6) \qquad t = 0 : (1\,;\, -2\,;\, 4) \qquad t = 2 : (7\,;\, 0\,;\, 0)

Déterminer une représentation paramétrique

Méthode : à partir d’un point et d’un vecteur directeur

Relever les coordonnées du point $A(x_A\,;\, y_A\,;\, z_A)$ : ce sont les termes constants.
Relever les coordonnées du vecteur directeur $\vec{u}(a\,;\, b\,;\, c)$ : ce sont les coefficients de $t$ .
Écrire le système $x = x_A + ta$ , $y = y_A + tb$ , $z = z_A + tc$ , sans oublier « $t \in \mathbb{R}$ ».

Méthode : à partir de deux points

Si la droite passe par deux points $A$ et $B$ , on choisit $A$ comme point de départ et $\overrightarrow{AB}$ comme vecteur directeur (il est non nul car $A \neq B$ ). On calcule d’abord $\overrightarrow{AB}$ par « arrivée moins départ », puis on applique la méthode précédente.

Exemple : droite passant par deux points

Cherchons une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ avec $A(2\,;\, 0\,;\, 1)$ et $B(5\,;\, -1\,;\, 3)$ . On calcule le vecteur directeur :

\overrightarrow{AB}\,(5 - 2\,;\, -1 - 0\,;\, 3 - 1) = (3\,;\, -1\,;\, 2)

On prend $A$ comme point de départ et $\overrightarrow{AB}$ comme vecteur directeur :

\begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -t \\ z = 1 + 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}

On vérifie : $t = 0$ donne $A(2\,;\, 0\,;\, 1)$ , et $t = 1$ donne $B(5\,;\, -1\,;\, 3)$ .

Une droite passant par A et B a pour vecteur directeur le vecteur AB.

Lire un point et un vecteur directeur

L’opération inverse est tout aussi importante : à partir d’une représentation paramétrique, retrouver un point et un vecteur directeur de la droite.

Méthode : lire les informations dans le système

Le vecteur directeur se lit sur les coefficients de $t$ : $\vec{u}(a\,;\, b\,;\, c)$ .
Un point de la droite se lit sur les termes constants, c’est le point obtenu pour $t = 0$ : $A(x_A\,;\, y_A\,;\, z_A)$ .

Exemple

Soit la droite $d$ de représentation paramétrique $x = 3 - t$ , $y = 2 + 4t$ , $z = -1 + t$ , avec $t \in \mathbb{R}$ .

Vecteur directeur : les coefficients de $t$ donnent $\vec{u}(-1\,;\, 4\,;\, 1)$ .
Point de la droite : les termes constants donnent $A(3\,;\, 2\,;\, -1)$ (obtenu pour $t = 0$ ).

Remarque : attention aux signes

Le coefficient de $t$ se lit avec son signe. Dans $x = 3 - t$ , le coefficient de $t$ est $-1$ , pas $+1$ . Une erreur de signe sur le vecteur directeur fausse toute la suite : positions relatives, orthogonalité, intersection.

Appartenance d’un point à une droite

Méthode : un point est-il sur la droite ?

Pour savoir si un point $M(x_0\,;\, y_0\,;\, z_0)$ appartient à la droite, on cherche **une valeur de $t$ qui satisfait les trois équations à la fois**. La marche à suivre :

Résoudre la première équation en $t$ , à partir de $x_0$ .
Reporter cette valeur dans les deux autres équations.
Si les deux sont vérifiées, le point est sur la droite. Si l’une échoue, il ne l’est pas.

Exemple : deux points testés

Soit $d$ : $x = 1 + 2t$ , $y = -3 + t$ , $z = 4 - t$ . Le point $M(5\,;\, -1\,;\, 2)$ appartient-il à $d$ ?

La première équation donne $5 = 1 + 2t$ , donc $t = 2$ . On reporte dans les deux autres : $y = -3 + 2 = -1$ (correct), et $z = 4 - 2 = 2$ (correct). Les trois équations sont vérifiées pour $t = 2$ : ** $M$ appartient à $d$ **.

Testons maintenant $N(3\,;\, 0\,;\, 3)$ . La première équation donne $3 = 1 + 2t$ , donc $t = 1$ . On reporte : $y = -3 + 1 = -2 \neq 0$ . La deuxième équation échoue : ** $N$ n’appartient pas à $d$ **.

Remarque

Il faut la même valeur de $t$ pour les trois équations. Trouver un $t$ qui marche pour $x$ et un autre pour $y$ ne prouve rien : c’est un seul point, donc un seul paramètre.

Positions relatives de deux droites

Deux droites de l’espace peuvent se trouver dans quatre situations. La première question à trancher est toujours celle du parallélisme, en comparant les vecteurs directeurs.

Propriété : Les quatre cas

Vecteurs directeurs colinéaires : les droites sont parallèles. Elles sont confondues si elles ont un point commun, strictement parallèles sinon.
Vecteurs directeurs non colinéaires : les droites ne sont pas parallèles. Elles sont sécantes si elles ont un point commun (un seul), non coplanaires si elles n’en ont aucun.

Méthode : déterminer la position de deux droites

Étape 1 : lire les deux vecteurs directeurs et tester leur colinéarité.
Étape 2, si colinéaires : prendre un point de la première droite et regarder s’il appartient à la seconde. Si oui, droites confondues ; sinon, strictement parallèles.
Étape 2, si non colinéaires : chercher un point commun en résolvant le système. S’il existe, droites sécantes ; sinon, non coplanaires.

Les trois cas à distinguer dans l’espace : sécantes, strictement parallèles, non coplanaires.

Remarque : la spécificité de l’espace

Dans le plan, deux droites non parallèles se coupent forcément. Dans l’espace, elles peuvent être non coplanaires : ni parallèles, ni sécantes. C’est pourquoi on ne peut jamais conclure « sécantes » sans avoir effectivement trouvé un point commun.

Chercher un point d’intersection

Méthode : le piège des deux paramètres

Pour chercher l’intersection de deux droites, on cherche un point commun. Mais chaque droite a son propre paramètre : il faut donc deux paramètres différents, souvent notés $t$ pour la première et $t'$ (ou $s$ ) pour la seconde. On écrit l’égalité des coordonnées, ce qui donne un système de trois équations à deux inconnues.

Exemple : intersection de deux droites

Soit $d_1$ : $x = 1 + t$ , $y = 2 + t$ , $z = t$ , et $d_2$ : $x = 3 - t'$ , $y = 4 + t'$ , $z = 1 + 2t'$ . On cherche leur éventuel point commun.

Les vecteurs directeurs sont $\vec{u_1}(1\,;\, 1\,;\, 1)$ et $\vec{u_2}(-1\,;\, 1\,;\, 2)$ . Ils ne sont pas colinéaires : les droites ne sont donc pas parallèles. On égale les coordonnées, avec les deux paramètres :

\begin{cases} 1 + t = 3 - t' \\ 2 + t = 4 + t' \\ t = 1 + 2t' \end{cases}

On résout avec les deux premières équations. Elles se réécrivent $t + t' = 2$ et $t - t' = 2$ . En additionnant : $2t = 4$ , donc $t = 2$ , puis $t' = 0$ .

On vérifie impérativement dans la troisième équation : $t = 1 + 2t'$ . Le membre de gauche vaut $t = 2$ , tandis que le membre de droite vaut $1 + 2 \times 0 = 1$ . Il faudrait donc que $2 = 1$ , ce qui est faux. Le système n’a pas de solution.

Conclusion : les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont ni parallèles, ni sécantes. Elles sont non coplanaires.

Exemple : un cas où elles se coupent

Reprenons $d_1$ : $x = 1 + t$ , $y = 2 + t$ , $z = t$ , et cette fois $d_3$ : $x = 4 - t'$ , $y = 5 - t'$ , $z = 3 - t'$ . Les vecteurs $\vec{u_1}(1\,;\, 1\,;\, 1)$ et $\vec{u_3}(-1\,;\, -1\,;\, -1)$ sont colinéaires ( $\vec{u_3} = -\vec{u_1}$ ) : les droites sont parallèles.

Le point $A(1\,;\, 2\,;\, 0)$ de $d_1$ (pour $t = 0$ ) appartient-il à $d_3$ ? On résout $1 = 4 - t'$ , donc $t' = 3$ ; on reporte : $y = 5 - 3 = 2$ (correct), $z = 3 - 3 = 0$ (correct). Le point commun existe, donc les droites sont confondues : $d_1$ et $d_3$ sont la même droite.

Erreurs classiques à éviter

Utiliser le même paramètre $t$ pour deux droites différentes quand on cherche leur intersection.
Chaque droite a son propre paramètre. On note $t$ pour l’une et $t'$ pour l’autre, sinon on impose à tort une contrainte qui fausse tout.
Lire le vecteur directeur sans tenir compte des signes.
Dans $x = 3 - t$ , le coefficient de $t$ est $-1$ . Le vecteur directeur se lit sur les coefficients de $t$ , signe compris.
Conclure qu’un point est sur la droite après avoir vérifié une seule des trois équations.
Il faut une même valeur de $t$ qui satisfait les trois équations. On trouve $t$ avec l’une, on vérifie avec les deux autres.
Oublier de vérifier la troisième équation lors d’une recherche d’intersection.
Le système a trois équations pour deux inconnues. On en résout deux, mais c’est la troisième qui décide si le point commun existe vraiment.
Croire que deux droites de directions différentes se coupent forcément.
Vrai dans le plan, faux dans l’espace : elles peuvent être non coplanaires. On ne conclut « sécantes » qu’après avoir trouvé un point commun.
Confondre représentation paramétrique et équation cartésienne.
Une représentation paramétrique (un système avec un paramètre) décrit une droite. Une équation cartésienne $ax + by + cz + d = 0$ décrit un plan (chapitre 5).
Penser qu’une droite a une seule représentation paramétrique.
Il y en a une infinité : tout point de la droite et tout vecteur directeur colinéaire conviennent. Deux systèmes différents peuvent décrire la même droite.

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