Partie 1 · Algèbre et géométrie · Chapitre 3

Le produit scalaire

Orthogonalité, norme, base orthonormée, projeté orthogonal.

Le produit scalaire est le seul outil du programme qui relie les vecteurs aux angles et aux longueurs. Avec lui, on mesure un angle, on teste une perpendicularité, on calcule une distance, et on décrit un plan par un unique vecteur qui lui est orthogonal. Il prolonge dans l’espace le produit scalaire vu en Première, sans rien changer aux règles de calcul.

Norme d’un vecteur et rappels

Définition : Norme

La norme d’un vecteur $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ est sa longueur, c’est-à-dire la distance $AB$ . On la note $\lVert \vec{u} \rVert$ ou $\lVert \overrightarrow{AB} \rVert$ .

Une norme est toujours positive ou nulle. Elle est nulle si et seulement si le vecteur est le vecteur nul : $\lVert \vec{u} \rVert = 0 \iff \vec{u} = \vec{0}$ .

Propriété : Norme et produit par un réel

Pour tout vecteur $\vec{u}$ et tout réel $k$ :

\lVert k\,\vec{u} \rVert = |k| \times \lVert \vec{u} \rVert

La valeur absolue est indispensable : une norme ne peut pas être négative, même si $k$ l’est.

Définition du produit scalaire

Deux vecteurs de l’espace sont toujours coplanaires : on peut donc les représenter dans un même plan et y définir leur produit scalaire exactement comme en Première. Trois expressions équivalentes coexistent, chacune utile selon les données.

Définition : Produit scalaire, avec l’angle

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls. Leur produit scalaire est le nombre réel :

\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert \vec{u} \rVert \times \lVert \vec{v} \rVert \times \cos\big(\vec{u}\,,\, \vec{v}\big)

où $\big(\vec{u}\,,\, \vec{v}\big)$ désigne l’angle géométrique entre les deux vecteurs. Si l’un des vecteurs est nul, on pose $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

Le produit scalaire relie les deux normes et le cosinus de leur angle.

Remarque : un nombre, pas un vecteur

Le résultat d’un produit scalaire est un nombre réel (un scalaire), d’où son nom. Ce n’est jamais un vecteur. On note le produit scalaire avec un point centré $\cdot$ , à ne pas confondre avec la multiplication d’un vecteur par un réel.

Définition : Produit scalaire, avec le projeté

Soient $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$ . Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ . Alors :

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = \begin{cases} +\,AB \times AH & \text{si } \overrightarrow{AH} \text{ et } \overrightarrow{AB} \text{ ont le même sens} \\ -\,AB \times AH & \text{s'ils sont de sens contraires} \end{cases}

On projette C sur la droite (AB) au pied H, orthogonalement.

Définition : Produit scalaire, avec les normes

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , le produit scalaire s’exprime à l’aide des normes seules :

\vec{u} \cdot \vec{v} = \tfrac{1}{2}\Big( \lVert \vec{u} \rVert^2 + \lVert \vec{v} \rVert^2 - \lVert \vec{u} - \vec{v} \rVert^2 \Big)

Cette forme, dite de polarisation, est très utile quand on connaît les longueurs des côtés d’une figure mais aucun angle.

Propriété : Carré scalaire

Le produit scalaire d’un vecteur par lui-même est le carré de sa norme. On l’appelle le carré scalaire :

\vec{u} \cdot \vec{u} = \lVert \vec{u} \rVert^2 \qquad \text{on le note aussi } \vec{u}^{\,2}

En effet, l’angle d’un vecteur avec lui-même est nul, donc $\cos(0) = 1$ et $\vec{u} \cdot \vec{u} = \lVert \vec{u} \rVert \times \lVert \vec{u} \rVert$ .

Symétrie et bilinéarité

Ce sont les règles qui autorisent à « développer » un produit scalaire comme un produit algébrique. Elles sont au programme et servent dans presque toutes les démonstrations du chapitre.

Propriété : Symétrie

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , l’ordre n’a pas d’importance :

\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}

Propriété : Bilinéarité

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ et tout réel $k$ , le produit scalaire se distribue sur l’addition et sort les coefficients :

\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}

(k\,\vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot (k\,\vec{v}) = k\,(\vec{u} \cdot \vec{v})

Grâce à la symétrie, ces règles valent aussi sur le premier facteur : le produit scalaire est linéaire par rapport à chacun de ses deux vecteurs, d’où le nom de bilinéarité.

Propriété : Identités remarquables vectorielles

La bilinéarité et la symétrie donnent des identités calquées sur celles de l’algèbre :

\lVert \vec{u} + \vec{v} \rVert^2 = \lVert \vec{u} \rVert^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \lVert \vec{v} \rVert^2

\lVert \vec{u} - \vec{v} \rVert^2 = \lVert \vec{u} \rVert^2 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \lVert \vec{v} \rVert^2

(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \lVert \vec{u} \rVert^2 - \lVert \vec{v} \rVert^2

Démonstration (développement de la norme d’une somme)

On part du carré scalaire, puis on développe grâce à la bilinéarité, comme un produit remarquable :

\lVert \vec{u} + \vec{v} \rVert^2 = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v}

Les deux termes croisés sont égaux par symétrie ( $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ ), et les carrés scalaires valent les normes au carré. On obtient $\lVert \vec{u} \rVert^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \lVert \vec{v} \rVert^2$ .

Exemple : calculer un produit scalaire à partir des longueurs

Soit un triangle $ABC$ avec $AB = 5$ , $AC = 4$ et $BC = 6$ . Calculons $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ sans connaître l’angle, grâce à la forme de polarisation. On remarque que $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ , donc $BC^2 = \lVert \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \rVert^2$ :

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \tfrac{1}{2}\big( AB^2 + AC^2 - BC^2 \big) = \tfrac{1}{2}\big( 25 + 16 - 36 \big) = \tfrac{5}{2} = 2{,}5

Orthogonalité

Définition : Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux, ce que l’on note $\vec{u} \perp \vec{v}$ , lorsque leur produit scalaire est nul :

\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

Remarque : orthogonal, perpendiculaire : la nuance

Le mot perpendiculaire est réservé aux droites qui se coupent en formant un angle droit. Deux vecteurs, eux, sont orthogonaux : le mot couvre aussi le cas de droites qui ne se coupent pas mais dont les directions font un angle droit. Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur, puisque $\vec{0} \cdot \vec{v} = 0$ .

Théorème : Théorème de Pythagore vectoriel

Pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :

\vec{u} \perp \vec{v} \iff \lVert \vec{u} + \vec{v} \rVert^2 = \lVert \vec{u} \rVert^2 + \lVert \vec{v} \rVert^2

Démonstration

On part de l’identité $\lVert \vec{u} + \vec{v} \rVert^2 = \lVert \vec{u} \rVert^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \lVert \vec{v} \rVert^2$ . L’égalité de Pythagore $\lVert \vec{u} + \vec{v} \rVert^2 = \lVert \vec{u} \rVert^2 + \lVert \vec{v} \rVert^2$ équivaut donc à $2\,\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ , c’est-à-dire à $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ , soit l’orthogonalité de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

Base et repère orthonormés

Définition : Base orthonormée

Une base $(\vec{i}\,;\, \vec{j}\,;\, \vec{k})$ de l’espace est orthonormée lorsque ses trois vecteurs sont :

deux à deux orthogonaux : $\vec{i} \cdot \vec{j} = \vec{j} \cdot \vec{k} = \vec{i} \cdot \vec{k} = 0$ ;
unitaires, c’est-à-dire de norme 1 : $\lVert \vec{i} \rVert = \lVert \vec{j} \rVert = \lVert \vec{k} \rVert = 1$ .

Un repère orthonormé est un repère $(O\,;\, \vec{i}\,;\, \vec{j}\,;\, \vec{k})$ dont la base est orthonormée. On dit aussi orthonormal.

Remarque

Toutes les formules analytiques qui suivent (produit scalaire, norme, distance à partir des coordonnées) ne sont valables que dans un repère orthonormé. C’est la condition à vérifier avant de les appliquer.

Expression analytique dans un repère orthonormé

Théorème : Produit scalaire en coordonnées

Dans un repère orthonormé, soient $\vec{u}(x\,;\, y\,;\, z)$ et $\vec{v}(x'\,;\, y'\,;\, z')$ . Alors :

\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'

Démonstration

On décompose $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ et $\vec{v} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}$ , puis on développe par bilinéarité. Le produit fait apparaître neuf termes du type $(\text{coefficient}) \times (\vec{i} \cdot \vec{j})$ .

Comme la base est orthonormée, les produits croisés sont nuls ( $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$ , etc.) et les carrés scalaires valent 1 ( $\vec{i} \cdot \vec{i} = \lVert \vec{i} \rVert^2 = 1$ , etc.). Il ne survit que les trois termes diagonaux :

\vec{u} \cdot \vec{v} = xx'\,(\vec{i} \cdot \vec{i}) + yy'\,(\vec{j} \cdot \vec{j}) + zz'\,(\vec{k} \cdot \vec{k}) = xx' + yy' + zz'

Théorème : Norme et distance en coordonnées

Dans un repère orthonormé, pour $\vec{u}(x\,;\, y\,;\, z)$ :

\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

et pour deux points $A(x_A\,;\, y_A\,;\, z_A)$ et $B(x_B\,;\, y_B\,;\, z_B)$ , la distance $AB = \lVert \overrightarrow{AB} \rVert$ vaut :

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}

La norme se déduit du produit scalaire : $\lVert \vec{u} \rVert = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .

Propriété : Test d’orthogonalité en coordonnées

Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(x\,;\, y\,;\, z)$ et $\vec{v}(x'\,;\, y'\,;\, z')$ sont orthogonaux si et seulement si :

xx' + yy' + zz' = 0

Exemple : orthogonalité et angle

Soient $\vec{u}(1\,;\, 2\,;\, -1)$ et $\vec{v}(3\,;\, -1\,;\, 1)$ dans un repère orthonormé. Leur produit scalaire vaut :

\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) + (-1) \times 1 = 3 - 2 - 1 = 0

Le produit scalaire est nul : les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Méthode : calculer un angle avec le produit scalaire

On combine les deux expressions du produit scalaire, celle avec l’angle et celle avec les coordonnées, pour isoler le cosinus :

\cos\big(\vec{u}\,,\, \vec{v}\big) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\lVert \vec{u} \rVert \times \lVert \vec{v} \rVert}

On calcule le produit scalaire et les deux normes en coordonnées, on en déduit le cosinus, puis l’angle avec la touche $\arccos$ (ou $\cos^{-1}$ ) de la calculatrice.

Vecteur normal à un plan

Définition : Vecteur normal

Un vecteur $\vec{n}$ non nul est un vecteur normal à un plan $\mathcal{P}$ lorsqu’il est orthogonal à tout vecteur directeur de $\mathcal{P}$ .

Le vecteur normal n est orthogonal à toutes les directions du plan.

Théorème : Vecteur normal et direction du plan

Soit $\mathcal{P}$ un plan dirigé par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ . Un vecteur non nul $\vec{n}$ est normal à $\mathcal{P}$ si et seulement s’il est orthogonal à la fois à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$ :

\vec{n} \text{ normal à } \mathcal{P} \iff \begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \end{cases}

Il suffit donc de tester l’orthogonalité sur deux vecteurs directeurs non colinéaires, pas sur tous les vecteurs du plan.

Démonstration

Le sens direct est immédiat : si $\vec{n}$ est normal à $\mathcal{P}$ , il est orthogonal à tout vecteur directeur, donc en particulier à $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

Réciproquement, supposons $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ . Tout vecteur directeur $\vec{w}$ de $\mathcal{P}$ s’écrit $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ . Par bilinéarité :

\vec{n} \cdot \vec{w} = \vec{n} \cdot (a\vec{u} + b\vec{v}) = a\,(\vec{n} \cdot \vec{u}) + b\,(\vec{n} \cdot \vec{v}) = a \times 0 + b \times 0 = 0

Donc $\vec{n}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $\mathcal{P}$ : c’est bien un vecteur normal.

Propriété : Caractérisation d’un plan par un point et un vecteur normal

Soient $A$ un point et $\vec{n}$ un vecteur non nul. Il existe un unique plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ . C’est l’ensemble des points $M$ tels que :

\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0

Un plan est donc entièrement déterminé par un point et une seule direction orthogonale. C’est cette idée qui conduit à l’équation cartésienne d’un plan, étudiée au chapitre 5.

Exemple : trouver un vecteur normal

Un plan $\mathcal{P}$ est dirigé par $\vec{u}(1\,;\, 1\,;\, 0)$ et $\vec{v}(1\,;\, 0\,;\, 1)$ . Cherchons un vecteur normal $\vec{n}(a\,;\, b\,;\, c)$ . Il doit vérifier le système :

\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{u} = a + b = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{v} = a + c = 0 \end{cases} \implies b = -a \ \text{ et } \ c = -a

En choisissant $a = 1$ , on obtient le vecteur normal $\vec{n}(1\,;\, -1\,;\, -1)$ . On vérifie : $\vec{n} \cdot \vec{u} = 1 - 1 + 0 = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{v} = 1 + 0 - 1 = 0$ .

Le projeté orthogonal

Définition : Projeté orthogonal sur une droite

Soit $d$ une droite et $M$ un point de l’espace. Le projeté orthogonal de $M$ sur $d$ est l’unique point $H$ de $d$ tel que $\overrightarrow{MH}$ soit orthogonal à un vecteur directeur de $d$ .

Définition : Projeté orthogonal sur un plan

Soit $\mathcal{P}$ un plan et $M$ un point de l’espace. Le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$ est l’unique point $H$ de $\mathcal{P}$ tel que $\overrightarrow{MH}$ soit colinéaire à un vecteur normal de $\mathcal{P}$ .

Le projeté H est le point du plan le plus proche de M : MH est la distance cherchée.

Propriété : Le projeté réalise la distance minimale

Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur une droite ou un plan est le point de cet objet le plus proche de $M$ . La distance de $M$ à la droite, ou au plan, est donc la longueur $MH$ :

\text{pour tout point } P \text{ de l'objet}, \quad MH \le MP

C’est pourquoi le projeté orthogonal intervient dans tous les calculs de distance d’un point à une droite ou à un plan.

Démonstration (le projeté minimise la distance)

Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur un plan $\mathcal{P}$ , et $P$ un point quelconque de $\mathcal{P}$ . Par Chasles, $\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MH} + \overrightarrow{HP}$ . Or $\overrightarrow{MH}$ est normal au plan et $\overrightarrow{HP}$ est un vecteur du plan : ils sont orthogonaux. Par le théorème de Pythagore vectoriel :

MP^2 = \lVert \overrightarrow{MH} + \overrightarrow{HP} \rVert^2 = MH^2 + HP^2 \ge MH^2

Donc $MP \ge MH$ , avec égalité seulement si $HP = 0$ , c’est-à-dire si $P = H$ . Le projeté $H$ est bien le point le plus proche.

Exemple : aire d’un triangle par le produit scalaire

Le produit scalaire donne l’angle, donc l’aire. Reprenons le triangle $ABC$ avec $AB = 5$ , $AC = 4$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2{,}5$ . On en tire le cosinus de l’angle en $A$ :

\cos(\widehat{A}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{AB \times AC} = \frac{2{,}5}{5 \times 4} = 0{,}125

Puis $\sin(\widehat{A}) = \sqrt{1 - 0{,}125^2} \approx 0{,}992$ , et l’aire vaut $\tfrac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\widehat{A}) \approx \tfrac{1}{2} \times 5 \times 4 \times 0{,}992 \approx 9{,}9$ .

Erreurs classiques à éviter

Croire que le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est un vecteur.
C’est un nombre réel. Écrire « $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est colinéaire à... » n’a aucun sens.
Appliquer $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$ dans un repère quelconque.
Cette formule n’est valable que dans un repère orthonormé. Toujours le vérifier avant de l’utiliser.
Oublier le facteur 2 dans $\lVert \vec{u} + \vec{v} \rVert^2$ .
Le développement correct est $\lVert \vec{u} \rVert^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \lVert \vec{v} \rVert^2$ , exactement comme $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .
Conclure qu’un plan est orthogonal à $\vec{n}$ après avoir testé un seul vecteur directeur.
Il faut l’orthogonalité avec deux vecteurs directeurs non colinéaires. Un seul ne suffit pas à fixer la direction du plan.
Écrire $\lVert k\vec{u} \rVert = k \lVert \vec{u} \rVert$ avec $k$ négatif.
Une norme est positive : $\lVert k\vec{u} \rVert = |k| \times \lVert \vec{u} \rVert$ , avec la valeur absolue.
Penser que « produit scalaire nul » signifie « un des deux vecteurs est nul ».
Un produit scalaire nul signale surtout l’orthogonalité : deux vecteurs non nuls perpendiculaires ont un produit scalaire nul.
Chercher la distance d’un point à un plan sans passer par le projeté orthogonal.
La distance est la longueur $MH$ où $H$ est le projeté orthogonal, c’est-à-dire le point du plan le plus proche.

Et maintenant

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