Partie 1 · Algèbre et géométrie · Chapitre 2

Le calcul vectoriel dans l’espace

Translation, combinaisons linéaires, droites et plans de l’espace.

Tout ce que tu sais des vecteurs du plan reste vrai dans l’espace : les définitions, la relation de Chasles, la colinéarité. Une seule nouveauté, mais elle change tout : il faut désormais trois nombres pour repérer un point, et deux droites peuvent ne pas être parallèles sans jamais se couper. Ce chapitre est la base des trois suivants, produit scalaire compris.

Vecteurs de l’espace et translations

Définition : Vecteur

Soient $A$ et $B$ deux points de l’espace. Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est défini par trois données :

sa direction : celle de la droite $(AB)$ ;
son sens : de $A$ vers $B$ ;
sa norme (ou longueur) : la distance $AB$ , notée $\lVert \overrightarrow{AB} \rVert$ .

Si $A = B$ , on obtient le vecteur nul $\vec{0}$ , de norme nulle, sans direction ni sens.

Définition : Translation

Soit $\vec{u}$ un vecteur de l’espace. La **translation de vecteur $\vec{u}$ ** est la transformation qui, à tout point $M$ , associe l’unique point $M'$ tel que $\vec{MM'} = \vec{u}$ .

Autrement dit, un vecteur est une instruction de déplacement : « avance de tant, dans cette direction, dans ce sens ». Le point de départ n’a aucune importance.

Propriété : Égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont même direction, même sens et même norme. Pour quatre points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ de l’espace, avec $A$ , $B$ , $C$ non alignés :

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC \text{ est un parallélogramme}

Remarque : attention à l’ordre des lettres

C’est bien $ABDC$ , et non $ABCD$ . Pour t’en convaincre, dessine : si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ , alors en partant de $A$ tu vas vers $B$ , puis de $B$ tu rejoins $D$ , puis $D$ vers $C$ , puis $C$ revient en $A$ . Le tour du parallélogramme se fait dans l’ordre $A$ , $B$ , $D$ , $C$ .

Propriété : Représentants d’un vecteur

Pour tout vecteur $\vec{u}$ et tout point $A$ de l’espace, il existe un unique point $B$ tel que $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ . On dit que $\overrightarrow{AB}$ est le représentant de $\vec{u}$ d’origine $A$ .

Conséquence pratique très utile : on peut toujours ramener un vecteur à l’origine de son choix. C’est ce qui permet de comparer des vecteurs éparpillés dans une figure.

Les opérations sur les vecteurs

Définition : Somme de deux vecteurs

La somme $\vec{u} + \vec{v}$ est le vecteur associé à l’enchaînement des deux translations : on applique d’abord la translation de vecteur $\vec{u}$ , puis celle de vecteur $\vec{v}$ .

Théorème : Relation de Chasles

Pour tous points $A$ , $B$ et $C$ de l’espace :

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

C’est l’outil numéro un du calcul vectoriel : il permet de décomposer un vecteur en passant par n’importe quel point intermédiaire, ou au contraire de recoller une chaîne de vecteurs.

En allant de A à B puis de B à C, on va de A à C.

Propriété : Vecteur opposé

Pour tous points $A$ et $B$ :

\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}

Définition : Produit d’un vecteur par un réel

Soient $\vec{u}$ un vecteur non nul et $k$ un réel non nul. Le vecteur $k\vec{u}$ est le vecteur :

de même direction que $\vec{u}$ ;
de même sens que $\vec{u}$ si $k > 0$ , de sens contraire si $k < 0$ ;
de norme $\lVert k\vec{u} \rVert = |k| \times \lVert \vec{u} \rVert$ .

Si $k = 0$ ou $\vec{u} = \vec{0}$ , alors $k\vec{u} = \vec{0}$ .

Propriété : Règles de calcul

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et tous réels $k$ et $k'$ , les calculs se mènent comme en algèbre :

k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}, \qquad (k + k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u}, \qquad k(k'\vec{u}) = (kk')\vec{u}

Exemple : simplifier une expression vectorielle

Simplifions $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}$ . On applique Chasles sur les deux premiers termes, puis on regroupe :

\underbrace{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}}_{= \overrightarrow{AC}} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CD}

Propriété : Milieu d’un segment

Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si :

\overrightarrow{AI} = \tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB} \iff \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}

Colinéarité et droites de l’espace

Définition : Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ , ou s’il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ .

En clair : deux vecteurs colinéaires ont la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur, puisque $\vec{0} = 0 \times \vec{u}$ .

Remarque

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont tous les deux non nuls, la définition se simplifie : ils sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel $k$ , forcément non nul, tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ .

Définition : Vecteur directeur d’une droite

Soit $d$ une droite de l’espace. Un vecteur non nul $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $d$ s’il existe deux points distincts $A$ et $B$ de $d$ tels que $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ .

Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs : ce sont tous les vecteurs non nuls colinéaires entre eux. Un vecteur directeur donne la direction de la droite, pas sa position.

Théorème : Caractérisation vectorielle d’une droite

Soient $A$ un point de l’espace et $\vec{u}$ un vecteur non nul. La droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que :

\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u}, \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}

En particulier, pour deux points distincts $A$ et $B$ : $M \in (AB) \iff \overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.

Méthode : montrer que trois points sont alignés

Pour prouver que $A$ , $B$ et $C$ sont alignés, on montre que deux vecteurs formés par ces points sont colinéaires, par exemple $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : il suffit d’exhiber un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AB}$ .

Propriété : Droites parallèles

Deux droites de l’espace sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Remarque : la grande nouveauté de l’espace

Dans le plan, deux droites non parallèles se coupent toujours. C’est faux dans l’espace : deux droites peuvent n’être ni parallèles, ni sécantes. On dit alors qu’elles sont non coplanaires. Dans un cube $ABCDEFGH$ , les droites $(AB)$ et $(CG)$ en sont un exemple : elles ne se rencontrent jamais et n’ont pas la même direction.

Dans un cube, (AB) et (CG) ne sont ni parallèles, ni sécantes.

Les combinaisons linéaires

Définition : Combinaison linéaire

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l’espace. Tout vecteur $\vec{w}$ qui s’écrit :

\vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}, \quad \text{avec } a, b \in \mathbb{R}

est appelé combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ . La définition s’étend à trois vecteurs ou plus : $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{t}$ .

Exemple

Dans un parallélépipède $ABCDEFGH$ (avec $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ portant trois arêtes issues de $A$ ), la grande diagonale s’écrit comme combinaison linéaire des trois arêtes :

\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}

On l’obtient par Chasles : $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}$ , puis en remarquant que $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AE}$ .

La grande diagonale AG est la somme des trois arêtes AB, AD et AE.

Vecteurs coplanaires

Définition : Vecteurs coplanaires

Trois vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires lorsque, en choisissant un point $O$ quelconque et en construisant les points $A$ , $B$ et $C$ tels que $\overrightarrow{OA} = \vec{u}$ , $\overrightarrow{OB} = \vec{v}$ et $\overrightarrow{OC} = \vec{w}$ , les quatre points $O$ , $A$ , $B$ et $C$ appartiennent à un même plan.

Cette définition ne dépend pas du point $O$ choisi : c’est une propriété des directions, pas des positions.

Théorème : Caractérisation des vecteurs coplanaires

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires, et $\vec{w}$ un vecteur quelconque. Alors :

\vec{u},\ \vec{v},\ \vec{w} \text{ coplanaires} \iff \exists\, (a\,;b) \in \mathbb{R}^2, \quad \vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}

De plus, ce couple $(a\,;\, b)$ est unique.

Démonstration (unicité du couple)

Supposons que $\vec{w}$ s’écrive de deux façons : $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$ et $\vec{w} = a'\vec{u} + b'\vec{v}$ . En soustrayant membre à membre :

(a - a')\,\vec{u} + (b - b')\,\vec{v} = \vec{0}

Raisonnons par l’absurde en supposant $a - a' \neq 0$ . On peut alors diviser : $\vec{u} = -\frac{b-b'}{a-a'}\,\vec{v}$ , ce qui signifie que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. C’est contraire à l’hypothèse. Donc $a - a' = 0$ , c’est-à-dire $a = a'$ . L’égalité devient $(b - b')\vec{v} = \vec{0}$ , et comme $\vec{v}$ est non nul (il n’est pas colinéaire à $\vec{u}$ ), on conclut $b = b'$ .

Méthode : montrer que quatre points sont coplanaires

Pour prouver que $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont coplanaires, on montre que les trois vecteurs $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont coplanaires : on cherche deux réels $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{AD} = a\,\overrightarrow{AB} + b\,\overrightarrow{AC}$ . Si un tel couple existe, les quatre points sont dans le plan $(ABC)$ .

Direction et caractérisation d’un plan

Définition : Direction d’un plan

La direction d’un plan $\mathcal{P}$ est donnée par un couple de vecteurs non colinéaires $(\vec{u}\,;\, \vec{v})$ , tous deux représentables par des vecteurs de $\mathcal{P}$ . Un tel couple est appelé couple de vecteurs directeurs de $\mathcal{P}$ .

Une droite se dirige avec un vecteur, un plan avec deux vecteurs non colinéaires. C’est toute la différence entre la dimension 1 et la dimension 2.

Théorème : Caractérisation vectorielle d’un plan

Soient $A$ un point de l’espace et $(\vec{u}\,;\, \vec{v})$ un couple de vecteurs non colinéaires. Le plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est l’ensemble des points $M$ tels que :

\overrightarrow{AM} = t\,\vec{u} + s\,\vec{v}, \quad \text{avec } (t\,;s) \in \mathbb{R}^2

En particulier, si $A$ , $B$ et $C$ sont trois points non alignés, ils définissent un unique plan $(ABC)$ , et :

M \in (ABC) \iff \exists\,(t\,;s) \in \mathbb{R}^2,\quad \overrightarrow{AM} = t\,\overrightarrow{AB} + s\,\overrightarrow{AC}

Propriété : Parallélisme

Une droite $d$ de vecteur directeur $\vec{w}$ est parallèle à un plan $\mathcal{P}$ dirigé par $(\vec{u}\,;\, \vec{v})$ si et seulement si $\vec{w}$ , $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont coplanaires, c’est-à-dire si $\vec{w}$ est une combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .
Deux plans sont parallèles si et seulement s’ils ont la même direction, c’est-à-dire si les vecteurs directeurs de l’un sont des combinaisons linéaires des vecteurs directeurs de l’autre.

Bases et repères de l’espace

Définition : Base de l’espace

Un triplet de vecteurs $(\vec{i}\,;\, \vec{j}\,;\, \vec{k})$ est une base de l’espace lorsque ces trois vecteurs sont non coplanaires.

Théorème : Décomposition dans une base

Soit $(\vec{i}\,;\, \vec{j}\,;\, \vec{k})$ une base de l’espace. Tout vecteur $\vec{u}$ de l’espace se décompose de manière unique sous la forme :

\vec{u} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k}

Le triplet $(x\,;\, y\,;\, z)$ est appelé triplet de coordonnées de $\vec{u}$ dans cette base.

Définition : Repère de l’espace

Un repère de l’espace est un quadruplet $(O\,;\, \vec{i}\,;\, \vec{j}\,;\, \vec{k})$ formé d’un point $O$ , appelé origine, et d’une base $(\vec{i}\,;\, \vec{j}\,;\, \vec{k})$ .

Les coordonnées d’un point $M$ dans ce repère sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OM}$ dans la base : si $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ , on note $M(x\,;\, y\,;\, z)$ .

Un point M se repère par ses trois coordonnées le long des axes.

Remarque : base ou repère ?

Une base donne les directions : elle sert à repérer les vecteurs. Un repère ajoute une origine : il sert à repérer les points. Un vecteur a des coordonnées dans une base, un point en a dans un repère.

Les calculs en coordonnées

On se place désormais dans un repère $(O\,;\, \vec{i}\,;\, \vec{j}\,;\, \vec{k})$ . Toutes les formules ci-dessous sont celles du plan, avec une troisième coordonnée en plus.

Propriété : Coordonnées d’un vecteur défini par deux points

Si $A(x_A\,;\, y_A\,;\, z_A)$ et $B(x_B\,;\, y_B\,;\, z_B)$ , alors :

\overrightarrow{AB}\ \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}

Moyen mnémotechnique : coordonnées de l’arrivée moins celles du départ.

Propriété : Somme et produit par un réel

Si $\vec{u}(x\,;\, y\,;\, z)$ et $\vec{v}(x'\,;\, y'\,;\, z')$ , et si $\lambda$ est un réel, alors :

\vec{u} + \vec{v}\ \begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \\ z + z' \end{pmatrix} \qquad \text{et} \qquad \lambda\,\vec{u}\ \begin{pmatrix} \lambda x \\ \lambda y \\ \lambda z \end{pmatrix}

Propriété : Milieu d’un segment

Le milieu $I$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées :

I\left( \frac{x_A + x_B}{2}\,;\ \frac{y_A + y_B}{2}\,;\ \frac{z_A + z_B}{2} \right)

Propriété : Égalité et colinéarité en coordonnées

Égalité : $\vec{u} = \vec{v}$ si et seulement si $x = x'$ , $y = y'$ et $z = z'$ . Une égalité vectorielle équivaut à trois égalités numériques.
Colinéarité : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel $k$ tel que $x = kx'$ , $y = ky'$ et $z = kz'$ (ou l’inverse si $\vec{v}$ est le vecteur nul).

Méthode : tester la colinéarité de deux vecteurs de l’espace

On cherche le coefficient $k$ sur une coordonnée non nulle, puis on vérifie sur les deux autres. Exemple avec $\vec{u}(2\,;\, -4\,;\, 6)$ et $\vec{v}(-3\,;\, 6\,;\, -9)$ : sur la première coordonnée, $-3 = k \times 2$ donne $k = -1{,}5$ . On vérifie : $-1{,}5 \times (-4) = 6$ (correct), et $-1{,}5 \times 6 = -9$ (correct). Les vecteurs sont colinéaires.

Le produit en croix du plan, $xy' - x'y = 0$ , ne suffit pas dans l’espace : il ne teste que deux coordonnées sur trois. Il faut vérifier les trois.

Exemple : coplanarité en coordonnées, pas à pas

Soient $A(1\,;\, 0\,;\, 2)$ , $B(3\,;\, 1\,;\, 2)$ , $C(0\,;\, 2\,;\, 3)$ et $D(5\,;\, 4\,;\, 4)$ . Les points sont-ils coplanaires ?

On calcule les trois vecteurs issus de $A$ : $\overrightarrow{AB}(2\,;\, 1\,;\, 0)$ , $\overrightarrow{AC}(-1\,;\, 2\,;\, 1)$ et $\overrightarrow{AD}(4\,;\, 4\,;\, 2)$ .

$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée de $\overrightarrow{AB}$ est nulle, pas celle de $\overrightarrow{AC}$ ). On cherche donc $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{AD} = a\,\overrightarrow{AB} + b\,\overrightarrow{AC}$ , ce qui donne le système :

\begin{cases} 2a - b = 4 \\ a + 2b = 4 \\ 0a + b = 2 \end{cases}

La troisième équation donne $b = 2$ . La première donne alors $2a = 6$ , soit $a = 3$ . On vérifie sur l’équation restante : $a + 2b = 3 + 4 = 7 \neq 4$ . Le système n’a pas de solution.

Conclusion : $\overrightarrow{AD}$ n’est pas une combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , donc les points $A$ , $B$ , $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.

Positions relatives : le récapitulatif

Toutes les questions de position relative se ramènent au calcul vectoriel de ce chapitre. Voici les cas à connaître.

Objets	Cas possibles	Comment trancher
Deux droites	confondues, strictement parallèles, sécantes, non coplanaires	Vecteurs directeurs colinéaires ? Si oui, parallèles (confondues si un point est commun). Sinon, chercher un point commun : s’il n’y en a pas, elles sont non coplanaires.
Une droite et un plan	droite incluse, parallèle stricte, sécante en un point	Le vecteur directeur est-il combinaison linéaire des deux vecteurs directeurs du plan ? Si oui, parallèle (incluse si un point de la droite est dans le plan). Sinon, sécante.
Deux plans	confondus, strictement parallèles, sécants selon une droite	Même direction ? Si oui, parallèles (confondus si un point est commun). Sinon, l’intersection est une droite.

Remarque

Deux plans de l’espace ne se coupent jamais en un seul point : soit ils sont parallèles, soit leur intersection est une droite entière. C’est une erreur classique en fin de chapitre.

Erreurs classiques à éviter

Croire que deux droites non parallèles de l’espace sont forcément sécantes.
C’est vrai dans le plan, faux dans l’espace : elles peuvent être non coplanaires. Après avoir écarté le parallélisme, il faut encore chercher un point commun.
Écrire $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABCD$ est un parallélogramme.
C’est $ABDC$ qui est un parallélogramme. Pour $ABCD$ , la bonne égalité est $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ .
Tester la colinéarité de deux vecteurs de l’espace avec le produit en croix $xy' - x'y = 0$ .
Ce critère du plan ignore la troisième coordonnée. Dans l’espace, on cherche $k$ sur une coordonnée puis on vérifie les trois.
Diriger un plan par deux vecteurs colinéaires.
Deux vecteurs colinéaires ne donnent qu’une seule direction, donc une droite. Un plan exige un couple de vecteurs non colinéaires.
Oublier de vérifier la dernière équation d’un système de coplanarité.
Deux équations suffisent à trouver $a$ et $b$ , mais c’est la troisième qui décide. Si elle n’est pas vérifiée, les points ne sont pas coplanaires.
Confondre base et repère.
Une base, ce sont trois vecteurs non coplanaires : elle repère les vecteurs. Un repère ajoute une origine : il repère les points.
Oublier que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
$\vec{0} = 0 \times \vec{u}$ pour tout $\vec{u}$ . En revanche, un vecteur directeur d’une droite doit être non nul.
Penser que deux plans peuvent se couper en un seul point.
Impossible : deux plans sont soit parallèles, soit sécants selon une droite entière.

Et maintenant

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