Partie 1 · Algèbre et géométrie · Chapitre 1

Le dénombrement

Produit cartésien, listes, factorielle, combinaisons, permutations.

Dénombrer, c’est compter le nombre d’éléments d’un ensemble sans les énumérer un par un. Combien de codes à 4 chiffres ? De podiums possibles dans une course ? De mains de 5 cartes dans un jeu de 32 ? Ce chapitre construit les outils qui répondent à toutes ces questions, et qui serviront de socle à la loi binomiale en probabilités (chapitre 17).

Dans tout le chapitre, la lettre $E$ désigne un ensemble fini et $n$ un entier naturel.

Ensembles finis et cardinal

Définition : Cardinal

Un ensemble $E$ est dit fini s’il possède un nombre entier d’éléments. Ce nombre s’appelle le cardinal de $E$ et se note $\text{Card}(E)$ . On rencontre aussi les notations $|E|$ et $\#E$ .

Exemple

L’ensemble $E = \{a\,;\, b\,;\, c\,;\, d\}$ vérifie $\text{Card}(E) = 4$ . L’ensemble des chiffres $\{0\,;\,1\,;\,\dots\,;\,9\}$ a pour cardinal $10$ . L’ensemble vide $\varnothing$ a pour cardinal $0$ .

Premier outil du chapitre : quand une situation se découpe en cas qui ne se recoupent pas, on additionne les comptes. C’est le principe additif.

Définition : Ensembles disjoints

Deux ensembles $A$ et $B$ sont disjoints lorsqu’ils n’ont aucun élément en commun, c’est-à-dire lorsque $A \cap B = \varnothing$ .

Théorème : Principe additif

Si $A$ et $B$ sont deux ensembles finis disjoints, alors :

\text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B)

Plus généralement, si $A_1, A_2, \dots, A_p$ sont des ensembles finis deux à deux disjoints, alors $\text{Card}(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_p) = \text{Card}(A_1) + \text{Card}(A_2) + \dots + \text{Card}(A_p)$ .

Exemple : compter par cas

Dans une classe, 24 élèves suivent l’option espagnol, 18 l’option italien, et aucun élève ne suit les deux. Le nombre d’élèves suivant une option est la taille de la réunion de deux ensembles disjoints :

24 + 18 = 42 \text{ élèves.}

Deux ensembles disjoints : on additionne les cardinaux.

Réflexe à retenir : dès qu’un dénombrement se traite en plusieurs cas incompatibles (« ou bien... ou bien... »), on compte chaque cas séparément puis on additionne.

Remarque

Si $A$ et $B$ ne sont pas disjoints, les éléments de $A \cap B$ sont comptés deux fois par la somme. La formule générale est $\text{Card}(A \cup B) = \text{Card}(A) + \text{Card}(B) - \text{Card}(A \cap B)$ .

Le produit cartésien et le principe multiplicatif

Définition : Produit cartésien

Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Le produit cartésien de $E$ par $F$ , noté $E \times F$ (lire « $E$ croix $F$ »), est l’ensemble des couples $(x\,;\, y)$ où $x$ appartient à $E$ et $y$ appartient à $F$ .

Remarque

Dans un couple, l’ordre compte : le couple $(1\,;\,2)$ est différent du couple $(2\,;\,1)$ . C’est ce qui distingue un couple d’un ensemble à deux éléments, pour lequel $\{1\,;\,2\} = \{2\,;\,1\}$ .

Exemple

Si $E = \{a\,;\, b\}$ et $F = \{1\,;\, 2\,;\, 3\}$ , alors $E \times F$ contient exactement les 6 couples suivants :

(a\,;1),\ (a\,;2),\ (a\,;3),\ (b\,;1),\ (b\,;2),\ (b\,;3)

On observe que $\text{Card}(E \times F) = 2 \times 3 = 6$ . C’est un résultat général.

Chaque case est un couple : 2 lignes fois 3 colonnes donnent 6 couples.

Théorème : Cardinal d’un produit cartésien

Si $E$ et $F$ sont deux ensembles finis, alors :

\text{Card}(E \times F) = \text{Card}(E) \times \text{Card}(F)

Plus généralement, pour $k$ ensembles finis $E_1, E_2, \dots, E_k$ , le produit cartésien $E_1 \times E_2 \times \dots \times E_k$ est l’ensemble des ** $k$ -uplets** $(x_1\,;\, x_2\,;\, \dots\,;\, x_k)$ avec $x_i \in E_i$ pour chaque $i$ , et son cardinal vaut $\text{Card}(E_1) \times \text{Card}(E_2) \times \dots \times \text{Card}(E_k)$ .

Méthode : Le principe multiplicatif

Quand une situation se construit en plusieurs étapes successives, et que le nombre de choix à chaque étape ne dépend pas des choix précédents, le nombre total de possibilités est le produit des nombres de choix de chaque étape.

Étape 1 : $n_1$ choix possibles.
Étape 2 : $n_2$ choix possibles, quel que soit le choix fait à l’étape 1.
... et ainsi de suite jusqu’à l’étape $k$ .
Nombre total de possibilités : $n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k$ .

Un arbre de choix : 2 possibilités, puis 3 à chaque fois, donnent 6 chemins.

Exemple : composer un menu

Une cantine propose 3 entrées, 4 plats et 2 desserts. Un menu complet est un triplet (entrée, plat, dessert), c’est-à-dire un élément du produit cartésien Entrées $\times$ Plats $\times$ Desserts. Le nombre de menus possibles est donc :

3 \times 4 \times 2 = 24

Rédaction attendue : on identifie les étapes (choisir l’entrée, puis le plat, puis le dessert), on justifie que les choix sont indépendants, puis on applique le principe multiplicatif.

Les k-uplets : des listes avec répétition

Définition : k-uplet

Soit $E$ un ensemble et $k$ un entier naturel non nul. Un ** $k$ -uplet** de $E$ (on dit aussi une ** $k$ -liste**) est une liste ordonnée $(x_1\,;\, x_2\,;\, \dots\,;\, x_k)$ de $k$ éléments de $E$ , non nécessairement distincts. C’est un élément de $E \times E \times \dots \times E = E^k$ .

Deux caractéristiques à retenir : l’ordre compte (le triplet $(1\,;\,2\,;\,3)$ n’est pas le triplet $(3\,;\,2\,;\,1)$ ) et les répétitions sont autorisées (le triplet $(7\,;\,7\,;\,7)$ est un triplet valide).

Théorème : Nombre de k-uplets

Si $\text{Card}(E) = n$ , le nombre de $k$ -uplets de $E$ est :

n^k

Démonstration

On construit un $k$ -uplet en $k$ étapes : on choisit $x_1$ ( $n$ possibilités), puis $x_2$ ( $n$ possibilités, car les répétitions sont autorisées), et ainsi de suite jusqu’à $x_k$ . Par le principe multiplicatif, il y a $\underbrace{n \times n \times \dots \times n}_{k \text{ facteurs}} = n^k$ possibilités.

Exemple : codes et mots binaires

Code de carte bancaire : un code est un 4-uplet de l’ensemble des chiffres $\{0\,;\,1\,;\,\dots\,;\,9\}$ , qui a 10 éléments. Il y a donc $10^4 = 10\,000$ codes possibles.
Octet : un octet est un 8-uplet de $\{0\,;\,1\}$ . Il y a $2^8 = 256$ octets.
Grille de QCM : pour 10 questions à 4 propositions chacune, une grille de réponses est un 10-uplet d’un ensemble à 4 éléments : $4^{10} = 1\,048\,576$ grilles possibles.

Remarque : ne pas inverser la puissance

Le bon réflexe : $(\text{nombre de choix par case})^{\text{nombre de cases}}$ . Pour le code de carte bancaire, chaque case offre 10 choix et il y a 4 cases : $10^4$ , et surtout pas $4^{10}$ .

Le nombre de parties d’un ensemble

Définition : Partie d’un ensemble

Une partie de $E$ (on dit aussi un sous-ensemble) est un ensemble $A$ dont tous les éléments appartiennent à $E$ . On note $\mathcal{P}(E)$ l’ensemble de toutes les parties de $E$ . L’ensemble vide $\varnothing$ et $E$ lui-même sont toujours des parties de $E$ .

Exemple

Pour $E = \{a\,;\, b\,;\, c\}$ , les parties de $E$ sont au nombre de 8 :

\varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a\,;b\},\ \{a\,;c\},\ \{b\,;c\},\ \{a\,;b\,;c\}

On constate que $8 = 2^3$ . Là encore, c’est un résultat général.

Théorème : Nombre de parties

Si $\text{Card}(E) = n$ , alors le nombre de parties de $E$ est :

\text{Card}\big(\mathcal{P}(E)\big) = 2^n

Démonstration

Numérotons les éléments de $E$ : $x_1, x_2, \dots, x_n$ . À toute partie $A$ de $E$ , on associe le $n$ -uplet $(b_1\,;\, b_2\,;\, \dots\,;\, b_n)$ de $\{0\,;\,1\}$ défini par : $b_i = 1$ si $x_i \in A$ , et $b_i = 0$ sinon.

Cette association met les parties de $E$ en correspondance parfaite avec les $n$ -uplets de $\{0\,;\,1\}$ : deux parties différentes donnent deux $n$ -uplets différents, et tout $n$ -uplet correspond à exactement une partie (celle des $x_i$ pour lesquels $b_i = 1$ ). Il y a donc autant de parties de $E$ que de $n$ -uplets de $\{0\,;\,1\}$ , c’est-à-dire $2^n$ .

Exemple

Avec $E = \{a\,;\, b\,;\, c\}$ : la partie $\{a\,;\, c\}$ correspond au triplet $(1\,;\, 0\,;\, 1)$ , la partie vide au triplet $(0\,;\, 0\,;\, 0)$ , et $E$ tout entier à $(1\,;\, 1\,;\, 1)$ .

Les k-uplets d’éléments distincts : les arrangements

On garde des listes ordonnées, mais on interdit maintenant les répétitions : c’est la situation d’un tirage successif sans remise, ou d’un classement.

Définition : k-uplet d’éléments distincts

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $k$ un entier avec $1 \le k \le n$ . Un ** $k$ -uplet d’éléments distincts** de $E$ (appelé aussi arrangement de $k$ éléments de $E$ ) est un $k$ -uplet $(x_1\,;\, \dots\,;\, x_k)$ dont les éléments sont deux à deux distincts.

Théorème : Nombre de k-uplets d’éléments distincts

Si $\text{Card}(E) = n$ et $1 \le k \le n$ , le nombre de $k$ -uplets d’éléments distincts de $E$ est :

n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times (n-k+1)

soit le produit de $k$ entiers consécutifs en descendant depuis $n$ .

Démonstration

On construit la liste en $k$ étapes. Pour $x_1$ : $n$ choix. Pour $x_2$ : l’élément $x_1$ est interdit, il reste $n-1$ choix. Pour $x_3$ : $n-2$ choix. À chaque étape, un choix de moins. Pour $x_k$ , il reste $n-(k-1) = n-k+1$ choix. Le principe multiplicatif donne le produit annoncé.

Exemple : le podium

20 coureurs disputent une course. Un podium est un triplet ordonné (or, argent, bronze) de coureurs distincts : c’est un 3-uplet d’éléments distincts d’un ensemble à 20 éléments. Le nombre de podiums possibles est :

20 \times 19 \times 18 = 6\,840

On vérifie la logique : 20 possibilités pour la première place, puis 19 pour la deuxième (le vainqueur n’est plus disponible), puis 18 pour la troisième.

La factorielle

Le produit $n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1$ revient si souvent en dénombrement qu’il porte un nom et une notation : la factorielle.

Définition : Factorielle

Pour tout entier $n \ge 1$ , la factorielle de $n$ , notée $n!$ (lire « factorielle $n$ » ou « $n$ factorielle »), est le produit de tous les entiers de $1$ à $n$ :

n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1

Par convention, on pose de plus :

0! = 1

Exemple : les premières valeurs, à connaître

$1! = 1$ , puis $2! = 2 \times 1 = 2$ , puis $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ , et ainsi de suite. Retenir au moins les valeurs jusqu’à $6!$ :

0! = 1,\quad 1! = 1,\quad 2! = 2,\quad 3! = 6,\quad 4! = 24,\quad 5! = 120,\quad 6! = 720

Ensuite $7! = 5\,040$ , $8! = 40\,320$ , $10! = 3\,628\,800$ . La factorielle croît extrêmement vite, bien plus vite que les puissances : c’est pour cela qu’énumérer à la main devient impossible et que le dénombrement est indispensable.

Remarque : pourquoi 0! = 1 ?

Ce n’est pas une bizarrerie mais un choix cohérent. D’abord, un produit de zéro facteur vaut 1 (l’élément neutre de la multiplication), comme une somme de zéro terme vaut 0. Ensuite, cette convention rend les formules du chapitre valables sans exception : par exemple, la formule des combinaisons donnera bien $\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!\, n!} = 1$ , ce qui est correct puisque la seule partie à 0 élément est l’ensemble vide. Enfin, elle prolonge la relation $n! = n \times (n-1)!$ au rang $n = 1$ : $1! = 1 \times 0!$ .

Propriété

Pour tout entier $n \ge 1$ :

n! = n \times (n-1)!

Cette relation permet de calculer les factorielles de proche en proche, et surtout de simplifier les quotients de factorielles sans tout développer.

Méthode : simplifier un quotient de factorielles

On développe la plus grande factorielle jusqu’à faire apparaître la plus petite, puis on simplifie. Exemple :

\frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6!} = 8 \times 7 = 56

Ne jamais calculer $8! = 40\,320$ puis diviser par $720$ : c’est plus long et source d’erreurs. On simplifie d’abord, on calcule ensuite.

Propriété : Arrangements et factorielles

Pour $1 \le k \le n$ , le nombre de $k$ -uplets d’éléments distincts d’un ensemble à $n$ éléments s’écrit avec des factorielles :

n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}

En effet, $\frac{n!}{(n-k)!}$ revient à écrire le produit $n \times (n-1) \times \dots \times 1$ puis à retirer la queue $(n-k) \times \dots \times 1$ : il reste exactement les $k$ premiers facteurs. Pour le podium : $\frac{20!}{17!} = 20 \times 19 \times 18 = 6\,840$ .

Les permutations

Définition : Permutation

Une permutation d’un ensemble $E$ à $n$ éléments est un $n$ -uplet d’éléments distincts de $E$ : autrement dit, une façon d’ordonner tous les éléments de $E$ .

Théorème : Nombre de permutations

Le nombre de permutations d’un ensemble à $n$ éléments est :

n!

Démonstration

C’est le cas particulier $k = n$ du théorème sur les $k$ -uplets d’éléments distincts : le nombre de permutations vaut $\frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = n!$ , la convention $0! = 1$ rendant le résultat immédiat.

Exemple : anagrammes et classements

Anagrammes : le mot MATHS a 5 lettres toutes distinctes. Chaque anagramme (avec ou sans sens) est une permutation de ces 5 lettres : il y en a $5! = 120$ .
Rangement : 6 livres à ranger sur une étagère, en ligne : $6! = 720$ rangements possibles.
Classement complet : 12 concurrents dans une course, sans ex æquo : $12! = 479\,001\,600$ classements possibles.

Remarque : pour aller plus loin

Si des lettres se répètent, on divise par les factorielles des répétitions. Le mot ANANAS (3 A, 2 N, 1 S) possède $\frac{6!}{3! \times 2!} = \frac{720}{12} = 60$ anagrammes. Cette formule n’est pas exigible en Terminale, mais l’idée (corriger un surcomptage en divisant) est exactement celle qui fonde les combinaisons ci-dessous.

Les combinaisons

Dernière situation, la plus fréquente au bac : on choisit $k$ éléments parmi $n$ sans tenir compte de l’ordre et sans répétition. C’est la situation d’un tirage simultané, d’une main de cartes, d’une équipe à constituer.

Définition : Combinaison

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments et $k$ un entier avec $0 \le k \le n$ . Une combinaison de $k$ éléments de $E$ est une **partie de $E$ à $k$ éléments**. Le nombre de ces combinaisons se note $\binom{n}{k}$ , et se lit « $k$ parmi $n$ ». Ce nombre s’appelle un coefficient binomial.

Remarque

Une combinaison est un ensemble, pas une liste : $\{2\,;\, 5\}$ et $\{5\,;\, 2\}$ sont la même combinaison. Dans d’anciens sujets ou sur certaines calculatrices, on rencontre la notation équivalente $C_n^k$ (ou la fonction nCr).

Théorème : Formule des combinaisons

Pour tous entiers $n$ et $k$ avec $0 \le k \le n$ :

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Démonstration

Comptons de deux façons les $k$ -uplets d’éléments distincts de $E$ , pour $1 \le k \le n$ .

Première façon : on sait qu’il y en a $\frac{n!}{(n-k)!}$ (section précédente).

Deuxième façon : on construit un $k$ -uplet d’éléments distincts en choisissant d’abord l’ensemble des $k$ éléments utilisés ( $\binom{n}{k}$ choix), puis en ordonnant ces $k$ éléments ( $k!$ permutations). Par le principe multiplicatif, il y a $\binom{n}{k} \times k!$ tels $k$ -uplets.

En égalant les deux comptes : $\binom{n}{k} \times k! = \frac{n!}{(n-k)!}$ , d’où $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ . Le cas $k = 0$ se vérifie directement : $\binom{n}{0} = 1$ et la formule donne $\frac{n!}{0!\,n!} = 1$ .

Propriété : Valeurs particulières

Pour tout entier $n \ge 0$ (et $n \ge 1$ pour la dernière) :

\binom{n}{0} = 1, \qquad \binom{n}{n} = 1, \qquad \binom{n}{1} = n

Interprétation directe : une seule partie à 0 élément (l’ensemble vide), une seule partie à $n$ éléments ( $E$ lui-même), et $n$ parties à 1 élément (les singletons).

Méthode : calculer un coefficient binomial à la main

Plutôt que la formule avec les trois factorielles, utiliser la forme raccourcie : $k$ facteurs décroissants depuis $n$ au numérateur, $k!$ au dénominateur.

\binom{n}{k} = \frac{n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)}{k!}

Exemple pas à pas : $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!} = \frac{720}{6} = 120$ . Trois facteurs en haut (car $k = 3$ ), et on divise par $3! = 6$ .

Exemple : mains et délégations

Main de cartes : au poker fermé avec un jeu de 32 cartes, une main est un ensemble de 5 cartes (l’ordre de distribution ne compte pas). Le nombre de mains est :

\binom{32}{5} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{5!} = \frac{24\,165\,120}{120} = 201\,376

Délégation : choisir 3 délégués parmi 25 élèves, sans rôle particulier : $\binom{25}{3} = \frac{25 \times 24 \times 23}{6} = 2\,300$ délégations possibles.

Dans les deux cas, le mot clé qui impose la combinaison est l’absence d’ordre : « simultanément », « une main », « un groupe », « une équipe sans rôles ».

Les propriétés des coefficients binomiaux

Propriété : Symétrie

Pour tous entiers $n$ et $k$ avec $0 \le k \le n$ :

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

Démonstration

Par interprétation : choisir les $k$ éléments que l’on prend revient exactement à choisir les $n-k$ éléments que l’on laisse. À chaque partie à $k$ éléments correspond une unique partie complémentaire à $n-k$ éléments, et réciproquement.

Par le calcul : $\binom{n}{n-k} = \frac{n!}{(n-k)!\,(n-(n-k))!} = \frac{n!}{(n-k)!\,k!} = \binom{n}{k}$ .

Exemple

Pour calculer $\binom{20}{18}$ , ne pas se lancer dans 18 facteurs : la symétrie donne $\binom{20}{18} = \binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ .

Théorème : Relation de Pascal

Pour tous entiers $n$ et $k$ avec $1 \le k \le n-1$ :

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

Démonstration (méthode combinatoire)exigible au bac

Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. Fixons un élément particulier $a$ de $E$ . Les parties de $E$ à $k$ éléments se partagent en deux catégories disjointes :

**celles qui contiennent $a$ ** : il reste à choisir $k-1$ éléments parmi les $n-1$ éléments restants, soit $\binom{n-1}{k-1}$ parties ;
**celles qui ne contiennent pas $a$ ** : il faut choisir les $k$ éléments parmi les $n-1$ éléments restants, soit $\binom{n-1}{k}$ parties.

Toute partie à $k$ éléments est dans exactement une des deux catégories. Par le principe additif, $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ .

Démonstration (par le calcul)exigible au bac

On réduit la somme au même dénominateur $k!\,(n-k)!$ :

\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k!\,(n-k-1)!} = \frac{k\,(n-1)!}{k!\,(n-k)!} + \frac{(n-k)\,(n-1)!}{k!\,(n-k)!}

= \frac{(n-1)!\,\big(k + (n-k)\big)}{k!\,(n-k)!} = \frac{n \times (n-1)!}{k!\,(n-k)!} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \binom{n}{k}

La relation de Pascal permet de construire tous les coefficients binomiaux de proche en proche, sans aucune formule : c’est le triangle de Pascal. Chaque nombre est la somme du nombre juste au-dessus et de son voisin de gauche.

$n$	$k=0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1

La relation de Pascal en image : 4 + 6 = 10, chaque nombre est la somme des deux au-dessus.

Méthode : lire le triangle

Le coefficient $\binom{n}{k}$ se lit à la ligne $n$ , colonne $k$ . Par exemple $\binom{5}{2} = 10$ : ligne 5, colonne 2. On y vérifie la relation de Pascal : $10 = 4 + 6$ , c’est-à-dire $\binom{5}{2} = \binom{4}{1} + \binom{4}{2}$ . On y lit aussi la symétrie : chaque ligne est un palindrome.

Théorème : Somme des coefficients binomiaux

Pour tout entier naturel $n$ :

\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n

Démonstration (par dénombrement)exigible au bac

Comptons les parties d’un ensemble $E$ à $n$ éléments en les classant selon leur cardinal. Pour chaque $k$ entre $0$ et $n$ , il y a exactement $\binom{n}{k}$ parties à $k$ éléments, et ces catégories sont deux à deux disjointes (une partie a un seul cardinal).

Par le principe additif, le nombre total de parties de $E$ vaut $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ . Or on a démontré que ce nombre total vaut $2^n$ . D’où l’égalité.

Exemple

Vérification sur la ligne 4 du triangle : $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4$ . Application : un ensemble à 6 éléments possède $2^6 = 64$ parties, dont $64 - 1 = 63$ parties non vides.

Choisir le bon modèle

Face à un problème de dénombrement, presque toutes les erreurs viennent d’un mauvais choix de modèle. Deux questions suffisent à trancher.

Méthode : les deux questions à se poser

L’ordre compte-t-il ? Tirage successif, code, podium, mot, classement : oui. Tirage simultané, main, groupe, équipe, comité : non.
Les répétitions sont-elles possibles ? Tirage avec remise, chiffres d’un code : oui. Tirage sans remise, personnes distinctes : non.

L’ordre compte ?	Répétitions ?	Modèle	Nombre
Oui	Oui	$k$ -uplet	$n^k$
Oui	Non	$k$ -uplet d’éléments distincts	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$
Non	Non	combinaison	$\dbinom{n}{k}$
Non	Oui	hors programme de Terminale	non exigible

Exemple : quatre tirages dans une urne

Une urne contient 8 boules numérotées de 1 à 8. On tire 3 boules. Le nombre de tirages dépend entièrement du protocole :

Successivement, avec remise : l’ordre compte, répétitions possibles : $8^3 = 512$ tirages.
Successivement, sans remise : l’ordre compte, pas de répétition : $8 \times 7 \times 6 = 336$ tirages.
Simultanément : pas d’ordre, pas de répétition : $\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56$ tirages.
Cohérence : $336 = 56 \times 3!$ , car chaque poignée de 3 boules peut être ordonnée de $3! = 6$ façons.

Erreurs classiques à éviter

Utiliser une combinaison alors que l’ordre compte, ou l’inverse. Exemple : compter $\binom{20}{3}$ podiums.
Toujours commencer par les deux questions de la méthode. Un podium est ordonné : $20 \times 19 \times 18$ . Une main de cartes ne l’est pas : $\binom{32}{5}$ .
Croire que $0! = 0$ , ou que $0!$ n’existe pas.
$0! = 1$ par convention. C’est ce qui rend $\binom{n}{0} = 1$ et $\binom{n}{n} = 1$ cohérents avec la formule.
Confondre $n^k$ et $k^n$ pour un code ou une grille.
Écrire (nombre de choix par case) puissance (nombre de cases). Un code à 4 chiffres : chaque case a 10 choix, il y a 4 cases, donc $10^4$ .
Utiliser $\binom{n}{k}$ pour un tirage avec remise.
Une combinaison interdit les répétitions. Avec remise, le bon modèle est le $k$ -uplet : $n^k$ .
Écrire $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!}$ en oubliant le facteur $(n-k)!$ .
La formule complète est $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ . Vérifier sur un petit cas : $\binom{4}{2} = 6$ , alors que $\frac{4!}{2!} = 12$ .
Compter à la main tous les cas d’un « au moins un ».
Passer au complémentaire : (au moins un) $=$ (total) $-$ (aucun). C’est presque toujours le chemin le plus court, voir l’exercice 6.
Croire que $\binom{n}{k}$ augmente toujours quand $k$ augmente.
Les coefficients croissent jusqu’au milieu puis redescendent par symétrie : sur la ligne 6 du triangle, $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ .

Et maintenant

Le cours est lu ? Vérifie qu’il est acquis : le QCM repère les trous, les exercices confirment en conditions réelles, les flashcards ancrent les formules.

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